The function f is defined by f(x)=\frac{x}{x+4}. What points (x, y) on the graph of f have the property that the line tangent to f at (x, y) has a slope of \frac{1}{9} ?
(A) \left(2, \frac{1}{3}\right) only
(B) \left(\frac{1}{9}, \frac{1}{13}\right) only
(C) \left(2, \frac{1}{3}\right) and \left(-10, \frac{5}{3}\right)
(D) \left(2, \frac{1}{3}\right) and (-2,-1)
(E) There are no such points.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = \frac{x}{x+4}
e pede os pontos em que a reta tangente à curva tem coeficiente angular \tfrac{1}{9}. Vamos usar derivada e a regra do quociente para achar f'(x) e depois resolver f'(x)=\tfrac{1}{9}.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para
f(x)=\frac{x}{x+4},
temos
f'(x)=\frac{(1)(x+4)-(x)(1)}{(x+4)^2} =\frac{x+4-x}{(x+4)^2} =\frac{4}{(x+4)^2}.

Passo 3

Igualamos f'(x) ao coeficiente angular dado:
\frac{4}{(x+4)^2} = \frac{1}{9}.

Passo 4

Resolvendo
(x+4)^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad x+4 = \pm6 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 \text{ ou } x = -10.

Passo 5

Calculamos y=f(x) em cada valor:
para x=2,
y = \frac{2}{2+4} = \frac{1}{3};
para x=-10,
y = \frac{-10}{-10+4} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3}.
Logo os pontos são \bigl(2,\tfrac{1}{3}\bigr) e \bigl(-10,\tfrac{5}{3}\bigr).

Resposta

(C) \left(2, \tfrac{1}{3}\right) e \left(-10, \tfrac{5}{3}\right)

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