Calcule a derivada direcional da função na direção do vetor dado.
\quad f(x, y)=x y^{3}-x^{2}, \quad \vec{u}=\langle-1,2\rangle.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
f(x,y)=x\,y^{3}-x^{2}
na direção do vetor \vec{u}=\langle -1,2\rangle.
O conteúdo envolvido é derivada direcional, que se obtém pelo produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário na direção de \vec{u}.

Passo 2

Vamos achar o gradiente de f.
Para isso, calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x} = y^{3}-2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 3x\,y^{2}.
Logo,
\nabla f(x,y) =\bigl\langle y^{3}-2x,\;3x\,y^{2}\bigr\rangle.

Passo 3

Precisamos normalizar o vetor \vec{u}.
O módulo de \vec{u} é
\|\vec{u}\| =\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}} =\sqrt{5}.
Assim, o vetor unitário é
\hat{u} =\frac{1}{\sqrt{5}}\langle -1,2\rangle =\Bigl\langle -\tfrac{1}{\sqrt{5}},\;\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr\rangle.

Passo 4

A derivada direcional de f em direção a \vec{u} é o produto escalar
D_{\hat{u}}f(x,y) =\nabla f(x,y)\;\cdot\;\hat{u}.
Substituindo, obtemos
D_{\hat{u}}f(x,y) =\bigl\langle y^{3}-2x,\;3x\,y^{2}\bigr\rangle \;\cdot\; \Bigl\langle -\tfrac{1}{\sqrt{5}},\;\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr\rangle.

Passo 5

Fazendo o produto escalar:
D_{\hat{u}}f(x,y) =\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigl[ (y^{3}-2x)\,(-1) +(3x\,y^{2})\,(2) \Bigr] =\frac{-y^{3}+2x+6x\,y^{2}}{\sqrt{5}}.

Resposta

D_{\vec{u}}f(x,y) =\frac{-\,y^{3}+2x+6x\,y^{2}}{\sqrt{5}}.

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