The table below shows values of two differentiable functions f and g, as well as their derivatives.
x f(x) f’(x) g(x) g’(x)
2 4 -2 -1 2
\quad r(x)=-\frac{g(x)}{1-f(x)}
Find r^{\prime}(2).

Passo 1

O enunciado dá os valores em x=2:
f(2)=4,\quad f'(2)=-2,\quad g(2)=-1,\quad g'(2)=2
e define
r(x) \;=\; -\frac{g(x)}{1 - f(x)}.
Queremos calcular r'(2). Para isso, usaremos a regra do quociente.

Passo 2

Defina
u(x) = -\,g(x), \quad v(x) = 1 - f(x).
Pela regra do quociente,
r'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{v(x)^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x) = -\,g'(x), \qquad v'(x) = -\,f'(x).
Substituindo em r'(x):
r'(x) = \frac{\bigl[-g'(x)\bigr]\,(1 - f(x)) \;-\; \bigl[-g(x)\bigr]\,\bigl[-f'(x)\bigr]}{(1 - f(x))^2} = \frac{-\,g'(x)\,(1 - f(x)) \;-\; g(x)\,f'(x)}{(1 - f(x))^2}.

Passo 4

Agora avaliamos em x=2:
1 - f(2) = 1 - 4 = -3, \quad g'(2)=2, \quad g(2)=-1, \quad f'(2)=-2.
Assim o numerador vira
-\,g'(2)\,(1 - f(2)) \;-\; g(2)\,f'(2) = -\,2\cdot(-3)\;-\;(-1)\cdot(-2) = 6 - 2 = 4,
e o denominador é
(1 - f(2))^2 = (-3)^2 = 9.
Logo
r'(2) = \frac{4}{9}.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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