The instantaneous electric field intensity inside a source-free coaxial line with inner and outer radii of
and
, respectively, that is filled with a homogeneous dielectric of
, and
, is given by
where
is the phase constant and
is the cylindrical radial distance from the center of the coaxial line. Determine the:
(a) Corresponding instantaneous magnetic field
.
(b) Phase constant
.
(c) Displacement current density
.
(a) Corresponding instantaneous magnetic field
(b) Phase constant
(c) Displacement current density
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) A campo magnético instantâneo
correspondente. - (b) A constante de fase
. - (c) A densidade de corrente de deslocamento
.
Informações dadas (relevantes):
- O campo elétrico instantâneo é
- A constante angular é
(rad/s) extraída do argumento do cosseno. - O meio tem
, e . - As coordenadas são cilíndricas:
é a distância radial, e são os vetores unitários radiais e azimutais, o axial. - Não há fontes dentro do dielétrico (modo TEM esperado para a linha coaxial).
- As perguntas (a),(b),(c) serão respondidas separadamente na resolução.
Passo 2
Entendendo a relação entre
e
para um modo TEM:
- Em um modo TEM as componentes de campo são transversas à direção de propagação (
) e satisfazem a relação de impedância intrínseca do meio. A impedância intrínseca do meio é
- A relação de amplitude entre os campos (para uma onda viajando na direção
) é, em termos de vetores,
- No nosso caso
é radial (na direção ). Para que aponte em precisamos que esteja na direção (porque ). A magnitude obedece
- Portanto a forma vetorial será
mantendo o mesmo sinal do cosseno para que o produto vetorial dê a direção de propagação correta.
Passo 3
Cálculo da impedância
numericamente:
- Use
e . A impedância do vácuo é . - Logo
- Numericamente
- Substituindo em
obtemos a expressão numérica final para :
Se preferir a forma simplificada simbólica,
Passo 4
Cálculo da constante de fase
:
- A constante de fase no meio é
- Com
e ,
onde
é a velocidade da luz no vácuo.
- Como
e ,
- Portanto
. (Também podemos manter a forma exata .)
Passo 5
Cálculo da densidade de corrente de deslocamento
:
- Definição: a densidade de corrente de deslocamento é
- Como
é constante no tempo,
- Diferenciando
em relação a ,
- Logo
- Substituindo
e calculando a amplitude numérica: . Assim a amplitude é
- Portanto a expressão numérica final é