The instantaneous electric field intensity inside a source-free coaxial line with inner and outer radii of a and b, respectively, that is filled with a homogeneous dielectric of \varepsilon=2.25 \varepsilon_{0}, \mu=\mu_{0}, and \sigma=0, is given by
\mathscr{E}=\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\frac{100}{\rho}\right) \cos \left(10^{8} t-\beta z\right)
where \beta is the phase constant and \rho is the cylindrical radial distance from the center of the coaxial line. Determine the:
(a) Corresponding instantaneous magnetic field \mathscr{H}.
(b) Phase constant \beta.
(c) Displacement current density \mathscr{I}_{d}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) A campo magnético instantâneo \mathscr{H} correspondente.
  • (b) A constante de fase \beta.
  • (c) A densidade de corrente de deslocamento \mathscr{I}_{d}.
Informações dadas (relevantes):
  • O campo elétrico instantâneo é
\mathscr{E}=\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\frac{100}{\rho}\right)\cos\!\left(10^{8}t-\beta z\right).
  • A constante angular é \omega=10^{8} (rad/s) extraída do argumento do cosseno.
  • O meio tem \varepsilon=2{,}25\,\varepsilon_{0}, \mu=\mu_{0} e \sigma=0.
  • As coordenadas são cilíndricas: \rho é a distância radial, \hat{\mathbf{a}}_{\rho} e \hat{\mathbf{a}}_{\varphi} são os vetores unitários radiais e azimutais, \hat{\mathbf{a}}_{z} o axial.
  • Não há fontes dentro do dielétrico (modo TEM esperado para a linha coaxial).
  • As perguntas (a),(b),(c) serão respondidas separadamente na resolução.

Passo 2

Entendendo a relação entre \mathscr{E} e \mathscr{H} para um modo TEM:
  • Em um modo TEM as componentes de campo são transversas à direção de propagação ( z) e satisfazem a relação de impedância intrínseca do meio. A impedância intrínseca do meio é
\eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.
  • A relação de amplitude entre os campos (para uma onda viajando na direção +z) é, em termos de vetores,
\mathscr{E}\times\mathscr{H} \\ \text{aponta para}\\\ +z.
  • No nosso caso \mathscr{E} é radial (na direção \hat{\mathbf{a}}_{\rho}). Para que \mathscr{E}\times\mathscr{H} aponte em +z precisamos que \mathscr{H} esteja na direção \hat{\mathbf{a}}_{\varphi} (porque \hat{\mathbf{a}}_{\rho}\times\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}=\hat{\mathbf{a}}_{z}). A magnitude obedece
|\mathscr{H}|=\frac{|\mathscr{E}|}{\eta}.
  • Portanto a forma vetorial será
\mathscr{H}=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\,\frac{1}{\eta}\left(\frac{100}{\rho}\right)\cos\!\left(10^{8}t-\beta z\right),
mantendo o mesmo sinal do cosseno para que o produto vetorial dê a direção de propagação correta.

Passo 3

Cálculo da impedância \eta numericamente:
  • Use \varepsilon=2{,}25\,\varepsilon_{0} e \mu=\mu_{0}. A impedância do vácuo é \eta_{0}=\sqrt{\mu_{0}/\varepsilon_{0}}=120\pi\approx 376{,}99\\ \Omega.
  • Logo
\eta=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{2{,}25\,\varepsilon_{0}}}=\frac{1}{\sqrt{2{,}25}}\,\eta_{0}=\frac{1}{1{,}5}\,\eta_{0}=\frac{2}{3}\eta_{0}.
  • Numericamente
\eta=\frac{2}{3}\cdot 120\pi \approx 251{,}33\\ \Omega.
  • Substituindo em \mathscr{H} obtemos a expressão numérica final para \mathscr{H}:
\mathscr{H}=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\left(\frac{100}{\rho}\right)\frac{1}{\eta}\cos\!\left(10^{8}t-\beta z\right) =\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\left(\frac{100}{\rho}\right)\frac{1}{251{,}33}\cos\!\left(10^{8}t-\beta z\right).
Se preferir a forma simplificada simbólica,
\mathscr{H}=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\left(\frac{100}{\rho}\right)\frac{1}{(2/3)\eta_{0}}\cos\!\left(10^{8}t-\beta z\right).

Passo 4

Cálculo da constante de fase \beta:
  • A constante de fase no meio é
\beta=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}.
  • Com \mu=\mu_{0} e \varepsilon=2{,}25\,\varepsilon_{0},
\beta=\omega\sqrt{\mu_{0}\,2{,}25\,\varepsilon_{0}}=\omega\cdot\sqrt{2{,}25}\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}=1{,}5\,\omega\frac{1}{c},
onde c=1/\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}} é a velocidade da luz no vácuo.
  • Como \omega=10^{8}\\ \text{rad/s} e c\approx 3{,}0\times 10^{8}\\ \text{m/s},
\beta=\frac{1{,}5\cdot 10^{8}}{3{,}0\times 10^{8}}=0{,}5\\ \text{rad/m}.
  • Portanto \beta=0{,}5\\ \text{rad/m}. (Também podemos manter a forma exata \beta=(1{,}5\omega)/c.)

Passo 5

Cálculo da densidade de corrente de deslocamento \mathscr{I}_{d}:
  • Definição: a densidade de corrente de deslocamento é
\mathscr{I}_{d}=\frac{\partial \mathscr{D}}{\partial t} \quad\text{com}\quad \mathscr{D}=\varepsilon \mathscr{E}.
  • Como \varepsilon é constante no tempo,
\mathscr{I}_{d}=\varepsilon\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}.
  • Diferenciando \mathscr{E}=\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\frac{100}{\rho}\right)\cos\!\left(10^{8}t-\beta z\right) em relação a t,
\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}=\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\frac{100}{\rho}\right)\cdot\left(-10^{8}\right)\sin\!\left(10^{8}t-\beta z\right).
  • Logo
\mathscr{I}_{d}=-\varepsilon\;10^{8}\;\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\frac{100}{\rho}\right)\sin\!\left(10^{8}t-\beta z\right).
  • Substituindo \varepsilon=2{,}25\,\varepsilon_{0} e calculando a amplitude numérica: \varepsilon=2{,}25\cdot 8{,}854\times 10^{-12}\\ \text{F/m}\approx 1{,}99215\times 10^{-11}\\ \text{F/m}. Assim a amplitude \varepsilon\cdot 10^{8}\cdot 100 é
1{,}99215\times 10^{-11}\cdot 10^{10}=0{,}199215\\ (\text{A/m}^{2}).
  • Portanto a expressão numérica final é
\mathscr{I}_{d}=-\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\frac{0{,}199215}{\rho}\right)\sin\!\left(10^{8}t-\beta z\right)\quad\text{(A/m}^{2}\text{)}.

Resposta

\mathscr{H}=\hat{\mathbf{a}}_{\varphi}\left(\dfrac{100}{\rho}\right)\dfrac{1}{\eta}\cos\!\left(10^{8}t-\beta z\right) com \eta=\dfrac{2}{3}\eta_{0}\approx 251{,}33\\ \Omega.
\beta=0{,}5\\ \text{rad/m}.
\mathscr{I}_{d}=-\varepsilon\,10^{8}\,\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\dfrac{100}{\rho}\right)\sin\!\left(10^{8}t-\beta z\right), numericamente \mathscr{I}_{d}=-\hat{\mathbf{a}}_{\rho}\left(\dfrac{0{,}199215}{\rho}\right)\sin\!\left(10^{8}t-\beta z\right)\\ \text{A/m}^{2}.

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