A time-varying voltage source of v(t)=10 \cos (\omega t) is connected across a parallel plate capacitor with polystyrene \left(\varepsilon=2.56 \varepsilon_{0}, \sigma=3.7 \times 10^{-4} \mathrm{~S} / \mathrm{m}\right) between the plates. Assuming a small plate separation of 2 cm and no field fringing, determine at:
f=100 \mathrm{MHz} the maximum values of the conduction and displacement current densities within the polystyrene and compare them.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar, para f=100\\ \mathrm{MHz}, os valores máximos (amplitudes) de duas densidades de corrente dentro do poliestireno entre as placas:
    1. a densidade de corrente de condução (devida à condutividade elétrica),
    2. a densidade de corrente de deslocamento (devida à variação do campo elétrico).
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
  • Tensão aplicada: \displaystyle v(t)=10\cos(\omega t). Logo a amplitude da tensão é \displaystyle V_{\max}=10 (volts).
  • Permissividade do material: \displaystyle \varepsilon = 2{,}56\,\varepsilon_0.
  • Condutividade do material: \displaystyle \sigma = 3{,}7\times 10^{-4}\\ \mathrm{S/m}.
  • Separação entre placas: \displaystyle d=2\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Frequência: \displaystyle f=100\\ \mathrm{MHz}=1{,}0\times 10^{8}\\ \mathrm{Hz}. Angular \displaystyle \omega=2\pi f.
  • Hipótese: campo elétrico uniforme entre as placas (sem fringe), logo \displaystyle E(t)=v(t)/d.

Passo 2

Calcular o campo elétrico máximo entre as placas.
  • A relação entre tensão e campo, para placas paralelas sem fringing, é \displaystyle E(t)=\dfrac{v(t)}{d}.
  • Como \displaystyle V_{\max}=10\\ \mathrm{V} e \displaystyle d=0{,}02\\ \mathrm{m}, a amplitude do campo é
E_{\max}=\dfrac{V_{\max}}{d}=\dfrac{10}{0{,}02}=500\\ \mathrm{V/m}.

Passo 3

Densidade de corrente de condução (definição e fórmula).
  • Conceito: corrente de condução local é dada pela lei de Ohm na forma local \displaystyle \mathbf{J}_{\mathrm{cond}}=\sigma\mathbf{E}. Aqui \displaystyle \sigma é a condutividade (unidade \mathrm{S/m}) e \displaystyle \mathbf{E} é o campo elétrico (unidade \mathrm{V/m}).
  • Como o campo é harmônico e uniforme, a amplitude (valor máximo) da densidade de corrente de condução é
J_{\mathrm{cond,max}}=\sigma E_{\max}.
  • Substituindo números:
J_{\mathrm{cond,max}}=(3{,}7\times 10^{-4})\times 500=0{,}185\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 4

Densidade de corrente de deslocamento (definição e fórmula).
  • Conceito: corrente de deslocamento local é a variação temporal do deslocamento elétrico \mathbf{D}: \displaystyle \mathbf{J}_{\mathrm{disp}}=\dfrac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}. Para um material linear isotrópico \displaystyle \mathbf{D}=\varepsilon \mathbf{E}, com \varepsilon a permissividade absoluta do material.
  • Para um campo harmônico \displaystyle E(t)=E_{\max}\cos(\omega t), temos
\mathbf{J}_{\mathrm{disp}}(t)=\varepsilon\,\dfrac{d}{dt}\big(E_{\max}\cos(\omega t)\big)=-\varepsilon\,\omega E_{\max}\sin(\omega t).
  • Portanto a amplitude (valor máximo) da densidade de corrente de deslocamento é
J_{\mathrm{disp,max}}=\omega\varepsilon E_{\max}.
  • Agora calculamos \varepsilon e \omega:
    • \displaystyle \varepsilon_0=8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
    • \displaystyle \varepsilon=2{,}56\,\varepsilon_0=2{,}56\times 8{,}854187817\times 10^{-12}\approx 2{,}2667\times 10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
    • \displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\times 1{,}0\times 10^{8}\approx 6{,}2831853\times 10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Agora \displaystyle \omega\varepsilon \approx (6{,}2831853\times 10^{8})\times(2{,}2667\times 10^{-11})\approx 0{,}014243\\ \mathrm{(S/m)}.
  • Multiplicando por E_{\max}=500\\ \mathrm{V/m},
J_{\mathrm{disp,max}}=\omega\varepsilon E_{\max}\approx 0{,}014243\times 500\approx 7{,}1215\\ \mathrm{A/m^{2}}.

Passo 5

Comparação e interpretação física (por que um domina o outro).
  • Valores obtidos:
    • \displaystyle J_{\mathrm{cond,max}}\approx 0{,}185\\ \mathrm{A/m^{2}}.
    • \displaystyle J_{\mathrm{disp,max}}\approx 7{,}1215\\ \mathrm{A/m^{2}}.
  • Razão entre eles:
\dfrac{J_{\mathrm{disp,max}}}{J_{\mathrm{cond,max}}}\approx \dfrac{7{,}1215}{0{,}185}\approx 38{,}5.
  • Interpretação: para esta frequência alta ( 100\\ \mathrm{MHz}) a corrente de deslocamento (associada à variação do campo e à permissividade) é muito maior que a corrente de condução (associada à condutividade). Isso ocorre porque \omega\varepsilon é muito maior que \sigma (a condutância efetiva capacitiva domina sobre a condutividade ôhmica do material).

Resposta

J_{\mathrm{cond,max}}=0{,}185\\ \mathrm{A/m^{2}}
J_{\mathrm{disp,max}}=7{,}1215\\ \mathrm{A/m^{2}}
J_{\mathrm{disp,max}}/J_{\mathrm{cond,max}}\approx 38{,}5

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