A time-varying voltage source of
is connected across a parallel plate capacitor with polystyrene
between the plates. Assuming a small plate separation of 2 cm and no field fringing, determine at:
the maximum values of the conduction and displacement current densities within the polystyrene and compare them.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar, para
, os valores máximos (amplitudes) de duas densidades de corrente dentro do poliestireno entre as placas: - a densidade de corrente de condução (devida à condutividade elétrica),
- a densidade de corrente de deslocamento (devida à variação do campo elétrico).
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
- Tensão aplicada:
. Logo a amplitude da tensão é (volts). - Permissividade do material:
. - Condutividade do material:
. - Separação entre placas:
. - Frequência:
. Angular . - Hipótese: campo elétrico uniforme entre as placas (sem fringe), logo
.
Passo 2
Calcular o campo elétrico máximo entre as placas.
- A relação entre tensão e campo, para placas paralelas sem fringing, é
. - Como
e , a amplitude do campo é
Passo 3
Densidade de corrente de condução (definição e fórmula).
- Conceito: corrente de condução local é dada pela lei de Ohm na forma local
. Aqui é a condutividade (unidade ) e é o campo elétrico (unidade ). - Como o campo é harmônico e uniforme, a amplitude (valor máximo) da densidade de corrente de condução é
- Substituindo números:
Passo 4
Densidade de corrente de deslocamento (definição e fórmula).
- Conceito: corrente de deslocamento local é a variação temporal do deslocamento elétrico
: . Para um material linear isotrópico , com a permissividade absoluta do material. - Para um campo harmônico
, temos
- Portanto a amplitude (valor máximo) da densidade de corrente de deslocamento é
- Agora calculamos
e : -
. -
-
-
- Agora
. - Multiplicando por
,
Passo 5
Comparação e interpretação física (por que um domina o outro).
- Valores obtidos:
-
. -
.
-
- Razão entre eles:
- Interpretação: para esta frequência alta (
) a corrente de deslocamento (associada à variação do campo e à permissividade) é muito maior que a corrente de condução (associada à condutividade). Isso ocorre porque é muito maior que (a condutância efetiva capacitiva domina sobre a condutividade ôhmica do material).