The instantaneous electric field inside a conducting rectangular pipe (waveguide) of width a is given by
\mathscr{E}=\hat{\mathbf{a}}_{y} E_{0} \sin \left(\frac{\pi}{a} x\right) \cos \left(\omega t-\beta_{z} z\right)
where \beta_{z} is the waveguide’s phase constant. Assuming there are no sources within the free-space-filled pipe determine the:
(a) Corresponding instantaneous magnetic field components inside the conducting pipe.
(b) Phase constant \beta_{z}.
The height of the waveguide is b.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico instantâneo dentro do condutor retangular (pipe) e pede o campo magnético instantâneo e a constante de fase. Dados e perguntas, listados claramente:
Dados:
\mathscr{E}=\hat{\mathbf{a}}_{y}\,E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)
  • A largura do guia é a.
  • A altura do guia é b.
  • O interior do guia é preenchido por espaço livre (permeabilidade \mu e permissividade \varepsilon).
  • Não há fontes (cargas livres nem correntes) no volume.
Perguntas:
(a) Encontre os componentes instantâneos do campo magnético \mathscr{H} dentro do pipe.
(b) Determine a constante de fase \beta_{z}.

Passo 2

Estratégia física e equações que vamos usar (sem resolver ainda): em regiões sem fontes, as equações de Maxwell relevantes (no tempo) são:
\nabla\times\mathscr{E} = -\mu\,\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}
\nabla\times\mathscr{H} = \varepsilon\,\frac{\partial \mathscr{E}}{\partial t}
Também podemos usar a equação de onda para o componente do campo elétrico (no vácuo/ES):
\nabla^{2}\mathscr{E} = \mu\varepsilon\,\frac{\partial^{2}\mathscr{E}}{\partial t^{2}}.
Explico o significado dos símbolos:
  • \nabla\times é o rotacional (mostra variação espacial que gera campos circulantes).
  • \mu é a permeabilidade do meio ( \mu_0 no vácuo).
  • \varepsilon é a permissividade do meio ( \varepsilon_0 no vácuo).
  • \mathscr{H} é o campo magnético instantâneo (amperes por metro).
  • \mathscr{E} é o campo elétrico instantâneo (volts por metro).
    Vamos usar a primeira equação para obter \mathscr{H} diretamente e a equação de onda para achar \beta_{z}.

Passo 3

Calcule o rotacional de \mathscr{E}. Como \mathscr{E} tem apenas componente y, i.e. \mathscr{E}=(0,E_{y},0) com
E_{y}(x,z,t)=E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right),
usamos as fórmulas componentes do rotacional em coordenadas cartesianas:
(\nabla\times\mathscr{E})_{x} = -\frac{\partial E_{y}}{\partial z},\quad (\nabla\times\mathscr{E})_{y} = 0,\quad (\nabla\times\mathscr{E})_{z} = \frac{\partial E_{y}}{\partial x}.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial E_{y}}{\partial x} = E_{0}\cdot\frac{\pi}{a}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right),
\frac{\partial E_{y}}{\partial z} = E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cdot\frac{\partial}{\partial z}\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right) = E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\beta_{z}\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right).
Portanto o rotacional fica
\nabla\times\mathscr{E} = \hat{\mathbf{a}}_{x}\left(-\beta_{z}E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)\right) +\hat{\mathbf{a}}_{z}\left(\frac{\pi E_{0}}{a}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)\right).

Passo 4

Use \nabla\times\mathscr{E} = -\mu\,\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial t}. Igualando componente a componente:
Componente x:
-\beta_{z}E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right) = -\mu\,\frac{\partial H_{x}}{\partial t}.
Simplificando os sinais:
\mu\,\frac{\partial H_{x}}{\partial t} = \beta_{z}E_{0}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right).
Componente y:
0 = -\mu\,\frac{\partial H_{y}}{\partial t}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial H_{y}}{\partial t}=0.
Como não esperamos campo magnético estático adicional no guia e queremos o campo puramente fásico, tomamos H_{y}=0.
Componente z:
\frac{\pi E_{0}}{a}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right) = -\mu\,\frac{\partial H_{z}}{\partial t},
ou seja
\mu\,\frac{\partial H_{z}}{\partial t} = -\frac{\pi E_{0}}{a}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right).

Passo 5

Integre as equações temporais para obter H_{x} e H_{z}.
Para H_{x}:
\frac{\partial H_{x}}{\partial t} = \frac{\beta_{z}E_{0}}{\mu}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right).
Integrando em t:
H_{x}(x,z,t) = \frac{\beta_{z}E_{0}}{\mu}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\int \sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)\,dt = -\frac{\beta_{z}E_{0}}{\mu\omega}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)+C_{x}(x,z).
Escolhemos a constante de integração C_{x}=0 (nenhum campo magnético DC adicional, e temos solução senoidal pura).
Para H_{z}:
\frac{\partial H_{z}}{\partial t} = -\frac{\pi E_{0}}{\mu a}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right).
Integrando:
H_{z}(x,z,t) = -\frac{\pi E_{0}}{\mu a}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\int \cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)\,dt = -\frac{\pi E_{0}}{\mu a\omega}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)+C_{z}(x,z).
Tomamos C_{z}=0 pelo mesmo motivo (nenhum termo DC).
Assim os campos magnéticos instantâneos são:
H_{x}(x,z,t) = -\frac{\beta_{z}E_{0}}{\mu\omega}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right),
H_{y}(x,z,t) = 0,
H_{z}(x,z,t) = -\frac{\pi E_{0}}{\mu a\omega}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right).
Observação didática rápida: os sinais e o fato de H_{x} ter \cos enquanto H_{z} tem \sin mostram o desfasamento de 90^\circ entre diferentes componentes magnéticas — típico em modos guiados.

Passo 6

Agora determine \beta_{z}. Usamos a equação de onda para E_{y}:
\nabla^{2}E_{y} = \mu\varepsilon\,\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}}.
Calcule as segundas derivadas espaciais e temporais da forma dada de E_{y}:
\frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial x^{2}} = -\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}E_{y}, \quad \frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial z^{2}} = -\beta_{z}^{2}E_{y}, \quad \frac{\partial^{2}E_{y}}{\partial t^{2}} = -\omega^{2}E_{y}.
Portanto
\nabla^{2}E_{y} = -\Big(\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+\beta_{z}^{2}\Big)E_{y}
e a equação de onda vira
-\Big(\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}+\beta_{z}^{2}\Big)E_{y} = -\mu\varepsilon\,\omega^{2}E_{y}.
Cancelando E_{y}\neq0 e os sinais:
\beta_{z}^{2} + \left(\frac{\pi}{a}\right)^{2} = \mu\varepsilon\,\omega^{2}.
Logo a constante de fase é
\beta_{z} = \sqrt{\mu\varepsilon\,\omega^{2} - \left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}}.
Também é útil notar o corte: o modo propaga apenas se \omega>\omega_{c} com
\omega_{c} = \frac{\pi}{a\sqrt{\mu\varepsilon}}.
O parâmetro b não aparece porque a solução não depende de y (modo com índice em y igual a zero — o modo dominante \mathrm{TE}_{10} tem variação só em x).

Resposta

\displaystyle \mathscr{H}(x,z,t)=\hat{\mathbf{a}}_{x}\!\left(-\frac{\beta_{z}E_{0}}{\mu\omega}\sin\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\cos\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)\right)+\hat{\mathbf{a}}_{z}\!\left(-\frac{\pi E_{0}}{\mu a\omega}\cos\!\left(\frac{\pi}{a}x\right)\sin\!\left(\omega t-\beta_{z}z\right)\right)
\displaystyle \beta_{z}=\sqrt{\mu\varepsilon\,\omega^{2}-\left(\frac{\pi}{a}\right)^{2}}

Exercícios relacionados