The instantaneous electric field inside a conducting rectangular pipe (waveguide) of width
is given by
where
is the waveguide’s phase constant. Assuming there are no sources within the free-space-filled pipe determine the:
(a) Corresponding instantaneous magnetic field components inside the conducting pipe.
(b) Phase constant
.
The height of the waveguide is
.
(a) Corresponding instantaneous magnetic field components inside the conducting pipe.
(b) Phase constant
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico instantâneo dentro do condutor retangular (pipe) e pede o campo magnético instantâneo e a constante de fase. Dados e perguntas, listados claramente:
Dados:
- A largura do guia é
. - A altura do guia é
. - O interior do guia é preenchido por espaço livre (permeabilidade
e permissividade ). - Não há fontes (cargas livres nem correntes) no volume.
Perguntas:
(a) Encontre os componentes instantâneos do campo magnético dentro do pipe.
(b) Determine a constante de fase .
(a) Encontre os componentes instantâneos do campo magnético
(b) Determine a constante de fase
Passo 2
Estratégia física e equações que vamos usar (sem resolver ainda): em regiões sem fontes, as equações de Maxwell relevantes (no tempo) são:
Também podemos usar a equação de onda para o componente do campo elétrico (no vácuo/ES):
Explico o significado dos símbolos:
-
é o rotacional (mostra variação espacial que gera campos circulantes). -
é a permeabilidade do meio ( no vácuo). -
é a permissividade do meio ( no vácuo). -
é o campo magnético instantâneo (amperes por metro). -
é o campo elétrico instantâneo (volts por metro).
Vamos usar a primeira equação para obterdiretamente e a equação de onda para achar .
Passo 3
Calcule o rotacional de
. Como
tem apenas componente
, i.e.
com
usamos as fórmulas componentes do rotacional em coordenadas cartesianas:
Calcule as derivadas parciais:
Portanto o rotacional fica
Passo 4
Use
. Igualando componente a componente:
Componente
:
Simplificando os sinais:
Componente
:
Como não esperamos campo magnético estático adicional no guia e queremos o campo puramente fásico, tomamos
.
Componente
:
ou seja
Passo 5
Integre as equações temporais para obter
e
.
Para
:
Integrando em
:
Escolhemos a constante de integração
(nenhum campo magnético DC adicional, e temos solução senoidal pura).
Para
:
Integrando:
Tomamos
pelo mesmo motivo (nenhum termo DC).
Assim os campos magnéticos instantâneos são:
Observação didática rápida: os sinais e o fato de
ter
enquanto
tem
mostram o desfasamento de
entre diferentes componentes magnéticas — típico em modos guiados.
Passo 6
Agora determine
. Usamos a equação de onda para
:
Calcule as segundas derivadas espaciais e temporais da forma dada de
:
Portanto
e a equação de onda vira
Cancelando
e os sinais:
Logo a constante de fase é
Também é útil notar o corte: o modo propaga apenas se
com
O parâmetro
não aparece porque a solução não depende de
(modo com índice em
igual a zero — o modo dominante
tem variação só em
).