The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
What is the probability that a laser fails before 5000 hours?
What is the probability that a laser fails before 5000 hours?
Passo 1
O enunciado dá que a vida de um laser segue uma distribuição normal com média
horas e desvio-padrão
horas. A pergunta é: qual a probabilidade de que o laser falhe antes de
horas? Ou seja, precisamos calcular
onde
é a vida do laser.
Passo 2
Vamos traduzir o problema para a linguagem da distribuição normal padrão. Quando temos uma variável aleatória
normalmente distribuída com média
e desvio-padrão
, escrevemos isso como
. Aqui temos
e
, então
.
Passo 3
Para calcular probabilidades com a normal usamos a normal padrão
. Fazemos a padronização usando a fórmula
Nessa fórmula,
é o valor da variável original,
é a média da distribuição original e
é o desvio-padrão. A ideia é transformar
para
que tem média
e desvio-padrão
, assim podemos usar tabelas ou calculadora da normal padrão.
Passo 4
Aplicando a padronização para
:
Portanto
.
Passo 5
Agora precisamos do valor da função de distribuição acumulada da normal padrão em
. Isso pode ser obtido em tabela da normal padrão ou em uma calculadora/Excel/R/Python. As tabelas normalmente dão valores até duas casas decimais; para
ou
encontramos valores muito pequenos (da ordem de
). Usando uma tabela precisa ou calculadora obtemos aproximadamente
Passo 6
Interpretação: isso significa que a probabilidade de o laser falhar antes de
horas é cerca de
, ou cerca de
. É uma probabilidade muito pequena porque
horas está mais de três desvios-padrão abaixo da média.