The life of a semiconductor laser at a constant power is normally distributed with a mean of 7000 hours and a standard deviation of 600 hours.
What is the probability that a laser fails before 5000 hours?

Passo 1

O enunciado dá que a vida de um laser segue uma distribuição normal com média \mu=7000 horas e desvio-padrão \sigma=600 horas. A pergunta é: qual a probabilidade de que o laser falhe antes de \,5000 horas? Ou seja, precisamos calcular P(X<5000) onde X é a vida do laser.

Passo 2

Vamos traduzir o problema para a linguagem da distribuição normal padrão. Quando temos uma variável aleatória X normalmente distribuída com média \mu e desvio-padrão \sigma, escrevemos isso como X\sim N(\mu,\sigma^{2}). Aqui temos \mu=7000 e \sigma=600, então X\sim N(7000,600^{2}).

Passo 3

Para calcular probabilidades com a normal usamos a normal padrão Z\sim N(0,1). Fazemos a padronização usando a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Nessa fórmula, X é o valor da variável original, \mu é a média da distribuição original e \sigma é o desvio-padrão. A ideia é transformar X para Z que tem média 0 e desvio-padrão 1, assim podemos usar tabelas ou calculadora da normal padrão.

Passo 4

Aplicando a padronização para X=5000:
Z=\frac{5000-7000}{600}=\frac{-2000}{600}=-\frac{2000}{600}=-\frac{10}{3}\approx-3,3333.
Portanto P(X<5000)=P\!\left(Z<-\tfrac{10}{3}\right).

Passo 5

Agora precisamos do valor da função de distribuição acumulada da normal padrão em z=-3,3333. Isso pode ser obtido em tabela da normal padrão ou em uma calculadora/Excel/R/Python. As tabelas normalmente dão valores até duas casas decimais; para z=-3,33 ou z=-3,34 encontramos valores muito pequenos (da ordem de 10^{-4}). Usando uma tabela precisa ou calculadora obtemos aproximadamente
P\!\left(Z<-\tfrac{10}{3}\right)\approx 0,00043.

Passo 6

Interpretação: isso significa que a probabilidade de o laser falhar antes de \,5000 horas é cerca de 0,00043, ou cerca de 0,043\%. É uma probabilidade muito pequena porque 5000 horas está mais de três desvios-padrão abaixo da média.

Resposta

0,00043
0,043\%

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