For a normal population with known variance σ^{2}, answer the following questions:
What is the confidence level for the interval \mu \leq \bar{x}+ 2.00 \sigma / \sqrt{n} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica. Informações fornecidas:
  • População normal com variância conhecida σ^{2}.
  • Amostra de tamanho n com média amostral \bar{x}.
  • Intervalo unilateral superior dado por \mu \leq \bar{x} + 2{,}00\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}.
O que o enunciado pergunta:
  • Qual é o nível de confiança desse intervalo unilateral (ou seja, qual a probabilidade de que o procedimento produza um limite superior que contenha o verdadeiro \mu)?

Passo 2

O que significa “nível de confiança” aqui (explicação didática e concreta):
Para um intervalo unilateral superior do tipo \mu \leq \bar{x} + c, o nível de confiança é a probabilidade, calculada em relação à amostra aleatória, de que o limite aleatório \bar{x}+c seja maior ou igual ao verdadeiro \mu. Em fórmula:
\text{nível de confiança} = P\!\left(\mu \le \bar{x} + 2{,}00\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).íç
Essa probabilidade é tomada supondo que \mu é fixo (mas desconhecido) e a aleatoriedade vem de \bar{x}.

Passo 3

Distribuição da média amostral e padronização (a fórmula e o porquê):
Como a população é normal e σ é conhecido, sabemos que
\bar{x} \sim N\!\left(\mu,\; \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Definimos a variável padronizada
Z = \dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}},
que tem distribuição padrão normal, isto é Z \sim N(0,1). Essa padronização transforma a dist. de \bar{x} numa dist. que conhecemos bem (a normal padrão), permitindo usar tabelas ou propriedades desta distribuição para calcular probabilidades.

Passo 4

Transformando a probabilidade desejada em função de Z e usando simetria da normal:
Começamos pela expressão do nível de confiança já escrita:
P\!\left(\mu \le \bar{x} + 2{,}00\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Subtraindo \mu de ambos os lados e dividindo por \sigma/\sqrt{n} (operações válidas que não mudam a probabilidade), obtemos
P\!\left(\dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \ge -2{,}00\right).
Pelo que definimos em Passo 3, \dfrac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} = Z, então
P\!\left(Z \ge -2{,}00\right).
Para a normal padrão, pela simetria e propriedades da função de distribuição acumulada \Phi, temos
P\!\left(Z \ge -2{,}00\right) = P\!\left(Z \le 2{,}00\right) = \Phi(2{,}00).
(Explicando a troca: a área à direita de -2{,}00 é igual à área à esquerda de 2{,}00 por simetria da curva normal.)

Passo 5

Valor numérico e interpretação final:
Consultando a tabela da normal padrão ou usando calculadora estatística, obtemos
\Phi(2{,}00) \approx 0{,}97725.
Portanto o nível de confiança é aproximadamente 0{,}97725, ou seja cerca de 97{,}725\%. Em linguagem de prova: ao usar o limite \bar{x} + 2{,}00\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} como limite superior para \mu, o procedimento acerta (contém o verdadeiro \mu) em aproximadamente 97{,}725\% das amostras possíveis.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se o coeficiente fosse 1{,}645 em vez de 2{,}00, o nível de confiança seria \Phi(1{,}645)\approx 0{,}95 (ou 95\%); é assim que se relaciona o valor crítico z com o nível de confiança em intervalos unilaterais.

Resposta

\Phi(2{,}00)\approx 0{,}97725 (ou seja, aproximadamente 97{,}725\%).

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