For a normal population with known variance
, answer the following questions:
What is the confidence level for the interval
?
What is the confidence level for the interval
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica. Informações fornecidas:
- População normal com variância conhecida
. - Amostra de tamanho
com média amostral . - Intervalo unilateral superior dado por
.
O que o enunciado pergunta:
- Qual é o nível de confiança desse intervalo unilateral (ou seja, qual a probabilidade de que o procedimento produza um limite superior que contenha o verdadeiro
)?
Passo 2
O que significa “nível de confiança” aqui (explicação didática e concreta):
Para um intervalo unilateral superior do tipo , o nível de confiança é a probabilidade, calculada em relação à amostra aleatória, de que o limite aleatório
seja maior ou igual ao verdadeiro
. Em fórmula:
Para um intervalo unilateral superior do tipo
Essa probabilidade é tomada supondo que
é fixo (mas desconhecido) e a aleatoriedade vem de
.
Passo 3
Distribuição da média amostral e padronização (a fórmula e o porquê):
Como a população é normal e é conhecido, sabemos que
Como a população é normal e
Definimos a variável padronizada
que tem distribuição padrão normal, isto é
. Essa padronização transforma a dist. de
numa dist. que conhecemos bem (a normal padrão), permitindo usar tabelas ou propriedades desta distribuição para calcular probabilidades.
Passo 4
Transformando a probabilidade desejada em função de
e usando simetria da normal:
Começamos pela expressão do nível de confiança já escrita:
Começamos pela expressão do nível de confiança já escrita:
Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
(operações válidas que não mudam a probabilidade), obtemos
Pelo que definimos em Passo 3,
, então
Para a normal padrão, pela simetria e propriedades da função de distribuição acumulada
, temos
(Explicando a troca: a área à direita de
é igual à área à esquerda de
por simetria da curva normal.)
Passo 5
Valor numérico e interpretação final:
Consultando a tabela da normal padrão ou usando calculadora estatística, obtemos
Consultando a tabela da normal padrão ou usando calculadora estatística, obtemos
Portanto o nível de confiança é aproximadamente
, ou seja cerca de
. Em linguagem de prova: ao usar o limite
como limite superior para
, o procedimento acerta (contém o verdadeiro
) em aproximadamente
das amostras possíveis.
Exemplo rápido para fixar a ideia: se o coeficiente fosse
em vez de
, o nível de confiança seria
(ou
); é assim que se relaciona o valor crítico
com o nível de confiança em intervalos unilaterais.