The diameter of the dot produced by a printer is normally distributed with a mean diameter of 0.002 inch and a standard deviation of 0.0004 inch.
(a) What is the probability that the diameter of a dot exceeds 0.0026?
(b) What is the probability that a diameter is between 0.0014 and 0.0026 ?
(c) What standard deviation of diameters is needed so that the probability in part (b) is 0.995 ? Use Appendix Table III to determine the value for z that solves each of the following:
(a) P(Z<z)=0.9
(b) P(Z<z)=0.5
(c) P(Z>z)=0.1
(d) P(Z>z)=0.9
(e) $P(-1.24<Z<z)=0.8

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória “diâmetro da gota” com distribuição normal e pede três coisas:
  • (a) A probabilidade de que o diâmetro exceda \,0{,}0026 polegada.
  • (b) A probabilidade de que o diâmetro esteja entre \,0{,}0014 e \,0{,}0026 polegada.
  • (c) Qual desvio padrão é necessário para que a probabilidade pedida no item (b) seja \,0{,}995.
As informações fornecidas (valores numéricos) são:
\mu = 0{,}002,\qquad \sigma = 0{,}0004
para os itens (a) e (b). No item (c) \mu continua sendo \,0{,}002 e os limites do intervalo continuam sendo \,0{,}0014 e \,0{,}0026, mas agora \sigma é desconhecido e deve ser encontrado.
Além disso o enunciado pede, usando a Tabela da Normal Padrão (\emph{Appendix Table III}), valores de z para várias probabilidades:
  • (A) P(Z<z)=0{,}9
  • (B) P(Z<z)=0{,}5
  • (C) P(Z>z)=0{,}1
  • (D) P(Z>z)=0{,}9
  • (E) P(-1{,}24<Z<z)=0{,}8

Passo 2

Pequena revisão didática (o que vamos usar):
  • Se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, escrevemos X\sim N(\mu,\sigma^2).
  • Para usar a tabela, padronizamos X subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão. Definimos a variável padrão
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
que tem distribuição normal padrão Z\sim N(0,1). Aqui cada símbolo significa:
  • \mu: média de X,
  • \sigma: desvio padrão de X,
  • Z: número de desvios-padrão que X está acima de \mu.
  • A função \Phi(z) denota P(Z\le z). A Tabela da Normal Padrão fornece valores de \Phi(z).
  • Para converter probabilidades do tipo P(X>a) ou P(b<X<c) usamos Z e a tabela:
    • P(X>a)=P\!\big(Z>\frac{a-\mu}{\sigma}\big)=1-\Phi\big(\frac{a-\mu}{\sigma}\big).
    • P(b<X<c)=\Phi\big(\frac{c-\mu}{\sigma}\big)-\Phi\big(\frac{b-\mu}{\sigma}\big).
  • Ao inverter uma probabilidade (encontrar z a partir de \Phi(z)) usamos a tabela inversa (ou pesquisa na tabela): se \Phi(z)=p então z=\Phi^{-1}(p).
Vou aplicar isso passo a passo nos itens.

Passo 3

Resolvendo o item (a): P(X>0{,}0026) com \mu=0{,}002 e \sigma=0{,}0004.
Calcule o escore z:
z=\frac{0{,}0026-0{,}002}{0{,}0004}=\frac{0{,}0006}{0{,}0004}=1{,}5.
Então
P(X>0{,}0026)=P(Z>1{,}5)=1-\Phi(1{,}5).
Usando a Tabela da Normal Padrão (Appendix Table III) sabemos que \Phi(1{,}5)=0{,}9332. Portanto
P(X>0{,}0026)=1-0{,}9332=0{,}0668.

Passo 4

Resolvendo o item (b): P(0{,}0014<X<0{,}0026) com os mesmos \mu e \sigma.
Calcule os dois escores:
z_{\text{inferior}}=\frac{0{,}0014-0{,}002}{0{,}0004}=\frac{-0{,}0006}{0{,}0004}=-1{,}5,
z_{\text{superior}}=\frac{0{,}0026-0{,}002}{0{,}0004}=1{,}5.
Então
P(0{,}0014<X<0{,}0026)=\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5).
Pela simetria da normal padrão \Phi(-1{,}5)=1-\Phi(1{,}5), assim
\Phi(1{,}5)-\Phi(-1{,}5)=\Phi(1{,}5)-(1-\Phi(1{,}5))=2\Phi(1{,}5)-1.
Substituindo \Phi(1{,}5)=0{,}9332:
P(0{,}0014<X<0{,}0026)=2\cdot0{,}9332-1=0{,}8664.

Passo 5

Resolvendo o item (c): queremos \sigma tal que
P(0{,}0014<X<0{,}0026)=0{,}995.
Note que os limites estão simetricamente a \pm 0{,}0006 em relação à média \mu=0{,}002. Escrevendo em termos de Z, se a=0{,}0006 então precisamos de z_0 tal que
P\big(-\frac{a}{\sigma}<Z<\frac{a}{\sigma}\big)=0{,}995.
Isto implica
2\Phi\!\left(\frac{a}{\sigma}\right)-1=0{,}995\quad\Rightarrow\quad \Phi\!\left(\frac{a}{\sigma}\right)=\frac{0{,}995+1}{2}=0{,}9975.
Agora precisamos do z_0 que satisfaz \Phi(z_0)=0{,}9975. Usando a Tabela da Normal Padrão (Appendix Table III) obtemos
z_0=\Phi^{-1}(0{,}9975)\approx 2{,}807.
Portanto
\frac{a}{\sigma}=2{,}807\quad\Rightarrow\quad \sigma=\frac{a}{2{,}807}=\frac{0{,}0006}{2{,}807}\approx 0{,}00021395.
Arredondando de forma prática para três casas decimais em notação científica útil,
\sigma\approx 0{,}000214.

Passo 6

Agora resolvo as perguntas sobre valores de z usando a Tabela da Normal Padrão (Appendix Table III). Em cada subitem explico a transformação e uso direto da tabela.
(A) Queremos z tal que P(Z<z)=0{,}9. Então z=\Phi^{-1}(0{,}9). Pela tabela
z\approx 1{,}2816.
(B) Queremos z tal que P(Z<z)=0{,}5. A mediana da normal padrão é zero, logo
z=0.
(C) Queremos z tal que P(Z>z)=0{,}1. Isso equivale a P(Z<z)=0{,}9, que já fizemos no item (A). Logo
z\approx 1{,}2816.
(D) Queremos z tal que P(Z>z)=0{,}9. Isso equivale a P(Z<z)=0{,}1. Assim
z=\Phi^{-1}(0{,}1)\approx -1{,}2816.
(E) Queremos z tal que P(-1{,}24<Z<z)=0{,}8. Escrevemos
\Phi(z)-\Phi(-1{,}24)=0{,}8.
Usando a tabela, primeiro encontramos \Phi(-1{,}24)=1-\Phi(1{,}24). Pela tabela \Phi(1{,}24)\approx 0{,}8925, então \Phi(-1{,}24)\approx 0{,}1075. Portanto
\Phi(z)=0{,}8+0{,}1075=0{,}9075.
Procurando 0{,}9075 na tabela obtemos z\approx 1{,}326 (interpolado entre 1{,}32 e 1{,}33, onde \Phi(1{,}32)\approx 0{,}9066 e \Phi(1{,}33)\approx 0{,}9082). Logo
z\approx 1{,}326.

Resposta

(a) P(X>0{,}0026)=0{,}0668
(b) P(0{,}0014<X<0{,}0026)=0{,}8664
(c) \sigma\approx 0{,}000214
(A) z\approx 1{,}2816
(B) z=0
(C) z\approx 1{,}2816
(D) z\approx -1{,}2816
(E) z\approx 1{,}326

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