The diameter of the dot produced by a printer is normally distributed with a mean diameter of 0.002 inch and a standard deviation of 0.0004 inch.
(a) What is the probability that the diameter of a dot exceeds 0.0026?
(b) What is the probability that a diameter is between 0.0014 and 0.0026 ?
(c) What standard deviation of diameters is needed so that the probability in part (b) is 0.995 ? Use Appendix Table III to determine the value for
that solves each of the following:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) $P(-1.24<Z<z)=0.8
(a) What is the probability that the diameter of a dot exceeds 0.0026?
(b) What is the probability that a diameter is between 0.0014 and 0.0026 ?
(c) What standard deviation of diameters is needed so that the probability in part (b) is 0.995 ? Use Appendix Table III to determine the value for
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) $P(-1.24<Z<z)=0.8
Passo 1
O enunciado nos dá uma variável aleatória “diâmetro da gota” com distribuição normal e pede três coisas:
- (a) A probabilidade de que o diâmetro exceda
polegada. - (b) A probabilidade de que o diâmetro esteja entre
e polegada. - (c) Qual desvio padrão é necessário para que a probabilidade pedida no item (b) seja
.
As informações fornecidas (valores numéricos) são:
para os itens (a) e (b). No item (c)
continua sendo
e os limites do intervalo continuam sendo
e
, mas agora
é desconhecido e deve ser encontrado.
Além disso o enunciado pede, usando a Tabela da Normal Padrão (\emph{Appendix Table III}), valores de
para várias probabilidades:
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
- (E)
Passo 2
Pequena revisão didática (o que vamos usar):
- Se
é normal com média e desvio padrão , escrevemos . - Para usar a tabela, padronizamos
subtraindo a média e dividindo pelo desvio padrão. Definimos a variável padrão
que tem distribuição normal padrão
. Aqui cada símbolo significa:
-
: média de , -
: desvio padrão de , -
: número de desvios-padrão que está acima de . - A função
denota . A Tabela da Normal Padrão fornece valores de . - Para converter probabilidades do tipo
ou usamos e a tabela: -
. -
.
-
- Ao inverter uma probabilidade (encontrar
a partir de ) usamos a tabela inversa (ou pesquisa na tabela): se então .
Vou aplicar isso passo a passo nos itens.
Passo 3
Resolvendo o item (a):
com
e
.
Calcule o escore
:
Então
Usando a Tabela da Normal Padrão (Appendix Table III) sabemos que
. Portanto
Passo 4
Resolvendo o item (b):
com os mesmos
e
.
Calcule os dois escores:
Então
Pela simetria da normal padrão
, assim
Substituindo
:
Passo 5
Resolvendo o item (c): queremos
tal que
Note que os limites estão simetricamente a
em relação à média
. Escrevendo em termos de
, se
então precisamos de
tal que
Isto implica
Agora precisamos do
que satisfaz
. Usando a Tabela da Normal Padrão (Appendix Table III) obtemos
Portanto
Arredondando de forma prática para três casas decimais em notação científica útil,
Passo 6
Agora resolvo as perguntas sobre valores de
usando a Tabela da Normal Padrão (Appendix Table III). Em cada subitem explico a transformação e uso direto da tabela.
(A) Queremos
tal que
. Então
. Pela tabela
(B) Queremos
tal que
. A mediana da normal padrão é zero, logo
(C) Queremos
tal que
. Isso equivale a
, que já fizemos no item (A). Logo
(D) Queremos
tal que
. Isso equivale a
. Assim
(E) Queremos
tal que
. Escrevemos
Usando a tabela, primeiro encontramos
. Pela tabela
, então
. Portanto
Procurando
na tabela obtemos
(interpolado entre
e
, onde
e
). Logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(B)
(C)
(D)
(E)