The pipe is made of A992 steel and is connected to the collars at A and B. When the temperature is 60^{\circ} \mathrm{F}, there is no axial load in the pipe. If hot gas traveling through the pipe causes its temperature to rise by \Delta T=(40+15 x)^{\circ} \mathrm{F}, where x is in feet, determine the average normal stress in the pipe. The inner diameter is 2 in ., the wall thickness is 0.15 in .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz o pedido (vou listar tudo de forma clara para a gente não se perder):
A variação de temperatura ao longo do eixo do tubo é \Delta T(x)=40+15x em graus Fahrenheit, onde x está em pés.
O tubo é feito de aço A992 e está ligado em coleiras nos pontos A e B. Quando a temperatura é 60^\circ\mathrm{F} não existe carregamento axial (estado sem tensão inicial).
Diâmetro interno: \,2\\ \text{in}.
Espessura da parede: \,0{,}15\\ \text{in}.
O que se pede: determinar a tensão normal média (tensão axial média) no tubo quando ele aquece segundo \Delta T(x).
Observação importante (necessária para resolver numericamente): o enunciado usa x em pés e dá \Delta T(x) em função de x, mas não informa o comprimento L do trecho entre as coleiras A e B (ou seja, os limites de x — presumivelmente x\in[0,L]). Sem esse comprimento L não é possível obter um valor numérico único para a tensão média. Portanto vou:
deduzir a fórmula geral da tensão média em função de L (passos seguintes); e
fornecer a expressão numérica quando substituirmos propriedades típicas do aço (comento quais valores adotei).
Não inventei o comprimento; se você souber L, basta substituir na expressão final.
Passo 2
Entendendo o mecanismo físico e escrevendo as equações de compatibilidade e equilíbrio (aula rápida e prática).
Quando a temperatura aumenta, o material tenderia a se expandir termicamente. A deformação térmica local (se livre) é \alpha\,\Delta T(x), onde \alpha é o coeficiente de dilatação térmica (unidade: ^\circ\mathrm{F}^{-1}) e \Delta T(x) é o aumento de temperatura local. Vou explicar as variáveis:
\alpha: coeficiente de dilatação linear do aço (expansão por grau de temperatura).
\Delta T(x): aumento de temperatura no ponto x.
Se as extremidades estão impedidas de se afastar (tubo rigidamente ligado entre coleiras), a expansão térmica é impedida. Isso gera uma deformação mecânica \varepsilon_\text{mec} que, em um corpo prismaticamente uniforme e em regime elástico linear, relaciona-se à tensão por \sigma = E\,\varepsilon_\text{mec}, onde E é o módulo de Young.
A deformação total local é soma da mecânica (devida à tensão) com a térmica: \varepsilon_\text{total}(x)=\varepsilon_\text{mec}+\alpha\,\Delta T(x).
Como as extremidades são fixas, o deslocamento axial resultante ao longo do comprimento deve ser nulo. Isso equivale à condição de compatibilidade (deslocamento total integral zero):\int_0^L \varepsilon_\text{total}(x)\,dx = 0.
Como a barra/tubo é prismaticamente uniforme (seção constante) e não há forças axiais distribuídas variando ao longo do comprimento, a tensão axial \sigma é uniforme ao longo do comprimento (equilíbrio axial requer força axial constante). Então \varepsilon_\text{mec} = \sigma/E é constante.
Interpretação: a tensão axial média é proporcional ao módulo E, ao coeficiente \alpha e ao valor médio de \Delta T(x) sobre o comprimento. Escrevemos também de forma direta como
onde L está em pés e \overline{\Delta T} em ^\circ\mathrm{F}.
Passo 5
Substituir a média no resultado para \sigma.
Usando \sigma = -E\alpha\;\overline{\Delta T} e o resultado do passo anterior,
\sigma = -E\alpha\left(40 + 7{,}5\,L\right).
Esta é a expressão geral para a tensão média axial (em unidades de pressão — por exemplo psi — se E estiver em psi, \alpha em ^\circ\mathrm{F}^{-1} e \overline{\Delta T} em ^\circ\mathrm{F}). Note que o valor numérico depende do comprimento L (em pés).
Passo 6
Comentário sobre a seção transversal (não é necessária para obter \sigma, mas calculo para mostrar que a área realmente cancela e para você ter o valor se precisar da força resultante).
A = \frac{\pi}{4}\left(d_o^2 - d_i^2\right) = \frac{\pi}{4}\left((2{,}30)^2 - (2{,}00)^2\right)\\ \text{in}^2.
Você pode calcular A numericamente se precisar da força axial F = \sigma A. Observação: a expressão para \sigma não envolve A, portanto a área não entra na determinação da tensão média.
Passo 7
(Se quiser um número aproximado usando propriedades típicas do aço A992)
Valores típicos (adotei estes valores padrão; se você tiver dados específicos da sua tabela use-os):
Módulo de Young do aço: E = 29{,}0\times 10^{6}\\ \text{psi} (ou 29{,}0\times10^{6}\\ \text{lbf/in}^2).
Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha = 6{,}5\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{F}^{-1}.
Substituindo:
E\alpha = (29{,}0\times10^{6})(6{,}5\times10^{-6}) = 188{,}5\quad\text{(sem unidades, pois psi}\times{^\circ\mathrm{F}^{-1}}\times{^\circ\mathrm{F}} \rightarrow \text{psi)}.
(onde L está em pés, \Delta T em ^\circ\mathrm{F}, E em psi e \alpha em ^\circ\mathrm{F}^{-1}).\n
Usando valores típicos E=29{,}0\times10^{6}\\ \text{psi} e \alpha=6{,}5\times10^{-6}\,^\circ\mathrm{F}^{-1}: