The post is made from 6061-T6 aluminum and has a diameter of 50 mm . It is fixed supported at A and B, and at its center C there is a coiled spring attached to the rigid collar. If the spring is originally uncompressed, determine the reactions at A and B when the force P=40 \mathrm{kN} is applied to the collar.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as reações em A e B quando a força P=40\\ \mathrm{kN} é aplicada ao colar rígido no centro C.
Dados explícitos no enunciado:
\text{- Material: 6061-T6 (alumínio).}í
\text{- Diâmetro do poste: }d=50\\ \mathrm{mm}.â
\text{- Apoios em }A\text{ e }B\text{ (fixos no enunciado).}
\text{- Na posição central }C\text{ está ligado um mola helicoidal ao colar rígido; a mola estava originalmente não comprimida.}çãáíã
\text{- Força aplicada: }P=40\\ \mathrm{kN}.ç
Observações importantes (informações que o enunciado não deu explicitamente): não foi fornecido o comprimento total do poste L (distância A B), nem a constante da mola k. Também não foi dada uma figura detalhada com condições adicionais. Essas quantidades são necessárias se quisermos obter valores numéricos das reações.

Passo 2

Vou explicar qual é a estratégia geral que se usa para resolver esse tipo de problema (sem assumir números que não foram dados). Em seguida monto as equações gerais em termos das grandezas que faltam ( L e k), para que você saiba exatamente o que calcular quando tiver esses valores.
Hipóteses geométricas razoáveis (explicitando-as): o enunciado diz “no seu centro C”, então assumimos que C é o ponto médio entre A e B. Seja L o comprimento total AB. Assim AC=BC=L/2. A seção é circular de diâmetro d. Vou usar notação:
A_s=\text{área da seção}=\frac{\pi d^2}{4},áçã
E=\text{módulo de Young do 6061-T6 (valor típico: }E\approx 69\\ \mathrm{GPa}\text{),}óí
k=\text{constante da mola (desconhecida no enunciado).}
Objetivo final simbólico: encontrar R_A e R_B em função de P,\;E,\;A_s,\;L,\;k. Se k e L forem fornecidos, então dá para calcular numericamente.

Passo 3

Equilíbrio de forças (ideia física): a força P aplicada ao colar é equilibrada pelas reações em A e B do poste mais pela força exercida pela mola F_s. Em notação:
R_A+R_B+F_s=P.
Por simetria (colocada no centro) espera-se R_A=R_B. Então, denotando N a reação em cada apoio,
2N+F_s=P.
Portanto, se descobrirmos F_s em função de N (ou vice‑versa), resolvemos o problema.

Passo 4

Compatibilidade de deslocamentos e relação mola‑barra (ensaio didático sobre deformação axial):
  • A compressão da mola F_s é igual ao deslocamento vertical \delta do colar (a mola estava sem pré‑compressão, então só começa a agir se o colar se deslocar). A lei da mola é
F_s = k\,\delta.
  • O deslocamento do colar \delta é ocasionado pela contração axial de cada metade do poste sob as forças internas. A força axial que cada metade transmite ao colar é N (ver explicação abaixo). A deformação axial (encurtamento) de uma metade de comprimento L/2 sob força axial N é, pela lei de Hooke (axial),
\delta = \frac{N (L/2)}{A_s E} = \frac{N L}{2 A_s E}.
Breve explicação da expressão: a lei de Hooke para tração/compressão axial diz \varepsilon=\sigma/E com \sigma=N/A_s; a variação de comprimento é \Delta L=\varepsilon (L/2) = (N/A_sE)(L/2).

Passo 5

Relacionando as duas expressões anteriores:
F_s = k\,\delta = k \frac{N L}{2 A_s E}.
Agora voltamos à equação de equilíbrio 2N+F_s=P e substituímos F_s:
2N + k\frac{N L}{2 A_s E} = P.
Colocando N em evidência:
N\left(2 + \frac{k L}{2 A_s E}\right) = P.
Logo a reação de cada apoio (por simetria R_A=R_B=N) fica:
N = \frac{P}{2 + \dfrac{k L}{2 A_s E}}.

Passo 6

Expressões finais úteis (também para a força na mola):
  • Reação em cada apoio:
\boxed{R_A = R_B = N = \frac{P}{2 + \dfrac{k L}{2 A_s E}}.}
  • Força na mola:
\boxed{F_s = P - 2N = P\left(1 - \frac{2}{2 + \dfrac{k L}{2 A_s E}}\right)= \frac{P\;\dfrac{k L}{2 A_s E}}{2 + \dfrac{k L}{2 A_s E}}.}
  • Área da seção (já com o diâmetro dado):
\boxed{A_s=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi (50\\ \mathrm{mm})^2}{4}=\pi\cdot 0{,}000625\\ \mathrm{m}^2\approx 1{,}9635\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.}
  • Módulo de Young (valor típico para 6061‑T6):
\boxed{E\approx 69\\ \mathrm{GPa}=6{,}9\times 10^{10}\\ \mathrm{Pa}.}

Passo 7

Comentários finais e condição de validade:
  • A fórmula encontrada assume que a mola efetivamente entrou em contato e foi comprimida (ou seja, o colar deslocou-se para comprimir a mola). Se a mola for muito frouxa (extremamente baixa k) ou o poste muito rígido (extremamente alto E), a mola pode ser a maior responsável pela resistência; se a mola for muito rígida (altíssimo k) então N\approx P/2. Em qualquer caso, a expressão acima abrange todos os regimes contínuos (desde mola fraca até excepcionalmente rígida).
  • Sem os valores numéricos de k e L NÃO é possível dar valores numéricos para R_A e R_B. Os valores de d e do material permitem calcular A_s e usar E, mas falta k e L.

Resposta

R_A=R_B=\frac{P}{2 + \dfrac{k L}{2 A_s E}}
F_s=\frac{P\;\dfrac{k L}{2 A_s E}}{2 + \dfrac{k L}{2 A_s E}}
(com A_s=\dfrac{\pi d^2}{4} e E do alumínio 6061‑T6; para obter números substitua k e L).

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