The post is made from 6061-T6 aluminum and has a diameter of 50 mm . It is fixed supported at A and B, and at its center C there is a coiled spring attached to the rigid collar. If the spring is originally uncompressed, determine the reactions at A and B when the force P=40 \mathrm{kN} is applied to the collar.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as reações em A e B quando a força P=40\\ \mathrm{kN} é aplicada ao colar rígido no centro C.
Dados explícitos no enunciado:
\text{- Material: 6061-T6 (alumínio).}
\text{- Diâmetro do poste: }d=50\\ \mathrm{mm}.
\text{- Apoios em }A\text{ e }B\text{ (fixos no enunciado).}
\text{- Na posição central }C\text{ está ligado um mola helicoidal ao colar rígido; a mola estava originalmente não comprimida.}
\text{- Força aplicada: }P=40\\ \mathrm{kN}.
Observações importantes (informações que o enunciado não deu explicitamente): não foi fornecido o comprimento total do poste L (distância A–B), nem a constante da mola k. Também não foi dada uma figura detalhada com condições adicionais. Essas quantidades são necessárias se quisermos obter valores numéricos das reações.
Passo 2
Vou explicar qual é a estratégia geral que se usa para resolver esse tipo de problema (sem assumir números que não foram dados). Em seguida monto as equações gerais em termos das grandezas que faltam (L e k), para que você saiba exatamente o que calcular quando tiver esses valores.
Hipóteses geométricas razoáveis (explicitando-as): o enunciado diz “no seu centro C”, então assumimos que C é o ponto médio entre A e B. Seja L o comprimento total AB. Assim AC=BC=L/2. A seção é circular de diâmetro d. Vou usar notação:
A_s=\text{área da seção}=\frac{\pi d^2}{4},
E=\text{módulo de Young do 6061-T6 (valor típico: }E\approx 69\\ \mathrm{GPa}\text{),}
k=\text{constante da mola (desconhecida no enunciado).}
Objetivo final simbólico: encontrar R_A e R_B em função de P,\;E,\;A_s,\;L,\;k. Se k e L forem fornecidos, então dá para calcular numericamente.
Passo 3
Equilíbrio de forças (ideia física): a força P aplicada ao colar é equilibrada pelas reações em A e B do poste mais pela força exercida pela mola F_s. Em notação:
R_A+R_B+F_s=P.
Por simetria (colocada no centro) espera-se R_A=R_B. Então, denotando N a reação em cada apoio,
2N+F_s=P.
Portanto, se descobrirmos F_s em função de N (ou vice‑versa), resolvemos o problema.
Passo 4
Compatibilidade de deslocamentos e relação mola‑barra (ensaio didático sobre deformação axial):
A compressão da mola F_s é igual ao deslocamento vertical \delta do colar (a mola estava sem pré‑compressão, então só começa a agir se o colar se deslocar). A lei da mola é
F_s = k\,\delta.
O deslocamento do colar \delta é ocasionado pela contração axial de cada metade do poste sob as forças internas. A força axial que cada metade transmite ao colar é N (ver explicação abaixo). A deformação axial (encurtamento) de uma metade de comprimento L/2 sob força axial N é, pela lei de Hooke (axial),
Breve explicação da expressão: a lei de Hooke para tração/compressão axial diz \varepsilon=\sigma/E com \sigma=N/A_s; a variação de comprimento é \Delta L=\varepsilon (L/2) = (N/A_sE)(L/2).
Passo 5
Relacionando as duas expressões anteriores:
F_s = k\,\delta = k \frac{N L}{2 A_s E}.
Agora voltamos à equação de equilíbrio 2N+F_s=P e substituímos F_s:
2N + k\frac{N L}{2 A_s E} = P.
Colocando N em evidência:
N\left(2 + \frac{k L}{2 A_s E}\right) = P.
Logo a reação de cada apoio (por simetria R_A=R_B=N) fica:
N = \frac{P}{2 + \dfrac{k L}{2 A_s E}}.
Passo 6
Expressões finais úteis (também para a força na mola):
A fórmula encontrada assume que a mola efetivamente entrou em contato e foi comprimida (ou seja, o colar deslocou-se para comprimir a mola). Se a mola for muito frouxa (extremamente baixa k) ou o poste muito rígido (extremamente alto E), a mola pode ser a maior responsável pela resistência; se a mola for muito rígida (altíssimo k) então N\approx P/2. Em qualquer caso, a expressão acima abrange todos os regimes contínuos (desde mola fraca até excepcionalmente rígida).
Sem os valores numéricos de k e L NÃO é possível dar valores numéricos para R_A e R_B. Os valores de d e do material permitem calcular A_s e usar E, mas falta k e L.