The assembly consists of two posts
and
each made from material 1 having a modulus of elasticity of
and a cross-sectional area
, and a central post
made from material 2 having a modulus of elasticity
and a cross-sectional area
. If posts
and
are to be replaced by those having a material 2 , determine the required cross-sectional area of these new posts so that both assemblies deform the same amount when loaded.
Passo 1
O enunciado diz que há três postes verticais ligados entre duas placas rígidas: os postes
e
(dois iguais) feitos do material 1 com módulo de elasticidade
e área da seção transversal
, e o poste central
feito do material 2 com módulo
e área
. Os postes têm o mesmo comprimento (vou chamar de
) e trabalham à compressão/tração axial, ligando as mesmas placas, portanto experimentam a mesma deformação axial quando a montagem é carregada.
A tarefa: substituir os postes e
por postes feitos do material 2 (mesmo
) e determinar a área transversal nova desses postes (vou chamar de
) de modo que, sob o mesmo carregamento, a deformação total da montagem permaneça exatamente a mesma.
Informações dadas relevantes: (para os dois postes originais),
(para o poste central), comprimento comum
(assumido igual para os três), e que queremos igualdade das deformações totais sob o mesmo carregamento.
A tarefa: substituir os postes
Informações dadas relevantes:
Passo 2
Conceito físico/matemático que vamos usar (explicado devagar): quando vários elementos axiais ligam duas placas rígidas em paralelo, todos eles têm a mesma deformação axial
. Para um único poste axial linear-elástico, a relação carga-deformação é dada pela Lei de Hooke no regime de tração/compressão uniaxial:
onde
é o encurtamento (ou alongamento),
é a força axial no membro,
é o comprimento do membro,
é o módulo de elasticidade do material e
é a área da seção transversal.
Definimos a rigidez axial do membro como
Definimos a rigidez axial do membro como
então a força no membro é
. Para vários membros em paralelo, a rigidez equivalente é a soma das rigidezes individuais:
e a deformação para uma carga total
aplicada nas placas é
Portanto, para que duas montagens diferentes tenham a mesma deformação
sob a mesma carga
, suas rigidezes equivalentes
devem ser iguais.
Passo 3
Escrevendo a rigidez equivalente da montagem original (antes da troca): há dois postes idênticos de material 1 e um poste central de material 2. Logo,
Passo 4
Escrevendo a rigidez equivalente da montagem após a troca (os postes externos passam a ser do material 2 com área desconhecida
): agora temos dois postes externos com
e o poste central com
. Assim,
Passo 5
Como queremos deformações iguais sob o mesmo carregamento, impondo igualdade das rigidezes equivalentes:
Substituindo as expressões:
Multiplicando todos os termos por
(para simplificar) e cancelando o termo
dos dois lados, obtemos
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Interpretação final e checagens rápidas (úteis para a prova): a área nova dos postes externos é simplesmente a área original multiplicada pela razão dos módulos
. Isso faz sentido: se os novos postes forem de material mais rígido (
), a área necessária será menor que
; se forem menos rígidos, a área precisa ser maior. No caso particular
temos
, ou seja, não seria necessário mudar a área.