The assembly consists of two posts A B and C D each made from material 1 having a modulus of elasticity of E_{1} and a cross-sectional area A_{1}, and a central post E F made from material 2 having a modulus of elasticity E_{2} and a cross-sectional area A_{2}. If posts A B and C D are to be replaced by those having a material 2 , determine the required cross-sectional area of these new posts so that both assemblies deform the same amount when loaded.

Passo 1

O enunciado diz que há três postes verticais ligados entre duas placas rígidas: os postes A B e C D (dois iguais) feitos do material 1 com módulo de elasticidade E_{1} e área da seção transversal A_{1}, e o poste central E F feito do material 2 com módulo E_{2} e área A_{2}. Os postes têm o mesmo comprimento (vou chamar de L) e trabalham à compressão/tração axial, ligando as mesmas placas, portanto experimentam a mesma deformação axial quando a montagem é carregada.
A tarefa: substituir os postes A B e C D por postes feitos do material 2 (mesmo E_{2}) e determinar a área transversal nova desses postes (vou chamar de A_{\text{novo}}) de modo que, sob o mesmo carregamento, a deformação total da montagem permaneça exatamente a mesma.
Informações dadas relevantes: E_{1}, A_{1} (para os dois postes originais), E_{2}, A_{2} (para o poste central), comprimento comum L (assumido igual para os três), e que queremos igualdade das deformações totais sob o mesmo carregamento.

Passo 2

Conceito físico/matemático que vamos usar (explicado devagar): quando vários elementos axiais ligam duas placas rígidas em paralelo, todos eles têm a mesma deformação axial \delta. Para um único poste axial linear-elástico, a relação carga-deformação é dada pela Lei de Hooke no regime de tração/compressão uniaxial:
\delta = \frac{P_{\text{m}} L}{E A},
onde \delta é o encurtamento (ou alongamento), P_{\text{m}} é a força axial no membro, L é o comprimento do membro, E é o módulo de elasticidade do material e A é a área da seção transversal.
Definimos a rigidez axial do membro como
k = \frac{E A}{L},
então a força no membro é P_{\text{m}} = k\,\delta. Para vários membros em paralelo, a rigidez equivalente é a soma das rigidezes individuais:
K_{\text{eq}} = \sum k = \sum \frac{E A}{L},
e a deformação para uma carga total P aplicada nas placas é
\delta = \frac{P}{K_{\text{eq}}}.
Portanto, para que duas montagens diferentes tenham a mesma deformação \delta sob a mesma carga P, suas rigidezes equivalentes K_{\text{eq}} devem ser iguais.

Passo 3

Escrevendo a rigidez equivalente da montagem original (antes da troca): há dois postes idênticos de material 1 e um poste central de material 2. Logo,
K_{\text{orig}} = 2\cdot\frac{E_{1}A_{1}}{L} \;+\; \frac{E_{2}A_{2}}{L}.

Passo 4

Escrevendo a rigidez equivalente da montagem após a troca (os postes externos passam a ser do material 2 com área desconhecida A_{\text{novo}}): agora temos dois postes externos com E_{2},A_{\text{novo}} e o poste central com E_{2},A_{2}. Assim,
K_{\text{novo}} = 2\cdot\frac{E_{2}A_{\text{novo}}}{L} \;+\; \frac{E_{2}A_{2}}{L}.

Passo 5

Como queremos deformações iguais sob o mesmo carregamento, impondo igualdade das rigidezes equivalentes:
K_{\text{orig}} = K_{\text{novo}}.
Substituindo as expressões:
2\cdot\frac{E_{1}A_{1}}{L} + \frac{E_{2}A_{2}}{L} \;=\; 2\cdot\frac{E_{2}A_{\text{novo}}}{L} + \frac{E_{2}A_{2}}{L}.
Multiplicando todos os termos por L (para simplificar) e cancelando o termo \frac{E_{2}A_{2}}{L} dos dois lados, obtemos
2 E_{1} A_{1} = 2 E_{2} A_{\text{novo}}.
Dividindo ambos os lados por 2 E_{2}:
A_{\text{novo}} = \frac{E_{1}}{E_{2}}\,A_{1}.

Passo 6

Interpretação final e checagens rápidas (úteis para a prova): a área nova dos postes externos é simplesmente a área original multiplicada pela razão dos módulos E_{1}/E_{2}. Isso faz sentido: se os novos postes forem de material mais rígido ( E_{2}>E_{1}), a área necessária será menor que A_{1}; se forem menos rígidos, a área precisa ser maior. No caso particular E_{1}=E_{2} temos A_{\text{novo}}=A_{1}, ou seja, não seria necessário mudar a área.

Resposta

A_{\text{novo}}=\frac{E_{1}}{E_{2}}\,A_{1}

Exercícios relacionados