The truss consists of three members, each made from A-36 steel and having a cross-sectional area of
. Determine the greatest load
that can be applied so that the roller support at
is not displaced more than 0.03 in.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Cada um dos três elementos do pórtico é de aço A-36 com módulo de Young
(valor padrão para aço: ). - Área da seção transversal de cada membro:
. - Limite admissível de deslocamento do rolamento em
: . - Pede-se o maior valor de
que satisfaça essa condição.
Informações que NÃO estão no enunciado e que são necessárias para obter um valor numérico de
:
- Geometria do pórtico: posições dos nós, comprimentos dos três membros
ou coordenadas dos nós, e orientação (ângulos) de cada membro. - Local e direção exata do carregamento
(em qual nó e direção atua). - Confirmação de qual é a direção do deslocamento limitado em
(vertical, horizontal ou inclinada).
Sem esses dados geométricos e de carregamento não é possível calcular numericamente as forças axiais nos membros nem o deslocamento em.
Passo 2
Qual método usar (explicação curta e motivo):
- Para obter o deslocamento de um nó de um pórtico/truss devido a cargas externas sem precisar fazer deformações membro-a-membro de forma direta, o método mais prático é o princípio do trabalho virtual (ou energia virtual). Ele é padrão em provas porque reduz o problema a obter forças axiais estáticas em duas situações (real e virtual) e usar uma soma escalar simples.
- Vou explicar passo a passo esse método e dar a fórmula final que relaciona
e . Como a geometria falta, eu não vou calcular um número, mas vou mostrar exatamente o que você precisaria calcular e como montar a conta na prova.
Passo 3
Princípio do trabalho virtual aplicado a pórticos/trusses — ideia e fórmula:
- Ideia: para um sistema linear elástico, o deslocamento
de um ponto na direção de interesse pode ser obtido aplicando-se uma carga virtual unitária naquela mesma direção e usando o produto entre as forças internas reais (devido à carga real) e as forças internas virtuais (devidas à carga virtual). - Para um truss (onde só existe deformação axial nos membros), a fórmula do deslocamento do ponto de interesse é
onde:
-
é a força axial no membro devido à carga real (tensão positiva = tração). -
é a força axial no membro devido a uma carga virtual unitária aplicada no nó e na direção do deslocamento desejado (esta carga virtual tem intensidade ). -
é o comprimento do membro . -
é a área da seção transversal (aqui ). -
é o módulo de Young do material (aqui ).
Comentário físico simples: cada termo
representa a contribuição do alongamento/encolhimento do membro
ao deslocamento virtual no nó de interesse.
Passo 4
Relação linear entre
e
e simplificação útil:
- Para pórticos lineares, as forças axiais
serão proporcionais ao carregamento . Podemos escrever
onde
é um coeficiente adimensional que depende somente da geometria e da posição de aplicação de
(obtido por equilíbrio estático — método dos nós ou cortes).
- Os
são obtidos resolvendo o sistema estático com a carga virtual unitária no nó na direção do deslocamento. - Substituindo na fórmula do passo anterior:
- Assim, o deslocamento é linear em
. Para impor basta resolver para .
Passo 5
Isolando
— fórmula final prática que você usará na prova:
- Da expressão do passo 4, isolamos
:
- Impondo o limite
(maior que respeita o limite),
- Observações sobre unidades e sinais:
- Use polegadas para comprimentos
, psi para e libras (lb) para ou kips consistentemente. Se for dado em psi e em in , o numerador tem unidades de força·comprimento; o denominador também, no final sai em unidades de força. - Os sinais de
e importam: o produto pode ser positivo ou negativo; a soma no denominador deve ser feita com os sinais. Se o denominador resultar positivo, positivo reduz deslocamento (caso físico consistente). Na prática em trusses típicos essa soma dará um valor positivo para deslocamento na direção aplicada.
- Use polegadas para comprimentos
Passo 6
Como calcular efetivamente
,
e
na prova (passo a passo operacional):
- A partir da figura do pórtico, determine coordenadas dos nós e comprimentos
(por exemplo, distância entre os nós extremos de cada membro). - Para o carregamento real
: - Faça equilíbrio global para obter reações se necessário.
- Use método dos nós (ou seções) para encontrar as forças axiais
em função de . Divida por para obter .
- Para a carga virtual:
- Aplique uma carga unitária
no nó na mesma direção do deslocamento cuja magnitude você quer (por exemplo, ou ). Resolva o sistema estático do truss para obter (forças axiais no mesmo conjunto de membros).
- Aplique uma carga unitária
- Calcule a soma
. - Substitua em
- Verifique unidades e o sinal final de
. Se você preferir trabalhar em kips, converta e em in adequadamente.
Passo 7
Por que não dei um número final e o que eu preciso para dar o valor de
:
- Sem a figura / medidas (comprimentos
, ângulos, ponto de aplicação de ) não há como determinar numericamente os coeficientes nem as forças virtuais . Portanto não é possível calcular um valor numérico para . - Se você me fornecer a figura (ou as coordenadas dos nós e a localização/direção de
), eu aplico exatamente os passos acima e trago a conta completa, com todos os cálculos e o valor numérico final, explicado passo a passo.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque a geometria do pórtico (comprimentos e orientações dos membros e posição/direção da carga
) não foi fornecida. Fórmula geral:
onde
são as forças axiais reais e
as forças axiais para a carga virtual unitária aplicada no nó
na direção do deslocamento.