The truss consists of three members, each made from A-36 steel and having a cross-sectional area of 0.75 \mathrm{in}^{2}. Determine the greatest load P that can be applied so that the roller support at B is not displaced more than 0.03 in.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Cada um dos três elementos do pórtico é de aço A-36 com módulo de Young E (valor padrão para aço: E=29{,}000\\ \text{ksi}=29\times10^{6}\\ \text{psi}).
  • Área da seção transversal de cada membro: A=0,75\\ \text{in}^2.
  • Limite admissível de deslocamento do rolamento em B: \delta_{allow}=0,03\\ \text{in}.
  • Pede-se o maior valor de P que satisfaça essa condição.
Informações que NÃO estão no enunciado e que são necessárias para obter um valor numérico de P:
  • Geometria do pórtico: posições dos nós, comprimentos dos três membros L_1,L_2,L_3 ou coordenadas dos nós, e orientação (ângulos) de cada membro.
  • Local e direção exata do carregamento P (em qual nó e direção atua).
  • Confirmação de qual é a direção do deslocamento limitado em B (vertical, horizontal ou inclinada).
    Sem esses dados geométricos e de carregamento não é possível calcular numericamente as forças axiais nos membros nem o deslocamento em B.

Passo 2

Qual método usar (explicação curta e motivo):
  • Para obter o deslocamento de um nó de um pórtico/truss devido a cargas externas sem precisar fazer deformações membro-a-membro de forma direta, o método mais prático é o princípio do trabalho virtual (ou energia virtual). Ele é padrão em provas porque reduz o problema a obter forças axiais estáticas em duas situações (real e virtual) e usar uma soma escalar simples.
  • Vou explicar passo a passo esse método e dar a fórmula final que relaciona P e \delta_B. Como a geometria falta, eu não vou calcular um número, mas vou mostrar exatamente o que você precisaria calcular e como montar a conta na prova.

Passo 3

Princípio do trabalho virtual aplicado a pórticos/trusses — ideia e fórmula:
  • Ideia: para um sistema linear elástico, o deslocamento \delta de um ponto na direção de interesse pode ser obtido aplicando-se uma carga virtual unitária naquela mesma direção e usando o produto entre as forças internas reais (devido à carga real) e as forças internas virtuais (devidas à carga virtual).
  • Para um truss (onde só existe deformação axial nos membros), a fórmula do deslocamento do ponto de interesse é
\delta = \sum_{i=1}^{3}\frac{N_i\, n_i\, L_i}{A E},
onde:
  • N_i é a força axial no membro i devido à carga real P (tensão positiva = tração).
  • n_i é a força axial no membro i devido a uma carga virtual unitária aplicada no nó e na direção do deslocamento desejado (esta carga virtual tem intensidade 1).
  • L_i é o comprimento do membro i.
  • A é a área da seção transversal (aqui A=0,75\\ \text{in}^2).
  • E é o módulo de Young do material (aqui E=29\times10^6\\ \text{psi}).
Comentário físico simples: cada termo \dfrac{N_i n_i L_i}{A E} representa a contribuição do alongamento/encolhimento do membro i ao deslocamento virtual no nó de interesse.

Passo 4

Relação linear entre N_i e P e simplificação útil:
  • Para pórticos lineares, as forças axiais N_i serão proporcionais ao carregamento P. Podemos escrever
N_i = \alpha_i\, P,
onde \alpha_i é um coeficiente adimensional que depende somente da geometria e da posição de aplicação de P (obtido por equilíbrio estático — método dos nós ou cortes).
  • Os n_i são obtidos resolvendo o sistema estático com a carga virtual unitária no nó B na direção do deslocamento.
  • Substituindo na fórmula do passo anterior:
\delta = \sum_{i=1}^{3}\frac{\alpha_i P\, n_i\, L_i}{A E} = P \left( \sum_{i=1}^{3}\frac{\alpha_i n_i L_i}{A E} \right).
  • Assim, o deslocamento é linear em P. Para impor \delta \le \delta_{allow} basta resolver para P.

Passo 5

Isolando P — fórmula final prática que você usará na prova:
  • Da expressão do passo 4, isolamos P:
P = \frac{\delta}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}\dfrac{\alpha_i n_i L_i}{A E}}.
  • Impondo o limite \delta=\delta_{allow} (maior P que respeita o limite),
P_{\max} = \frac{\delta_{allow}\, A E}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3} \alpha_i n_i L_i}.
  • Observações sobre unidades e sinais:
    • Use polegadas para comprimentos L_i, psi para E e libras (lb) para P ou kips consistentemente. Se E for dado em psi e A em in ^2, o numerador tem unidades de força·comprimento; o denominador também, no final P sai em unidades de força.
    • Os sinais de \alpha_i e n_i importam: o produto \alpha_i n_i pode ser positivo ou negativo; a soma no denominador deve ser feita com os sinais. Se o denominador resultar positivo, P positivo reduz deslocamento (caso físico consistente). Na prática em trusses típicos essa soma dará um valor positivo para deslocamento na direção aplicada.

Passo 6

Como calcular efetivamente \alpha_i, n_i e L_i na prova (passo a passo operacional):
  1. A partir da figura do pórtico, determine coordenadas dos nós e comprimentos L_i (por exemplo, distância entre os nós extremos de cada membro).
  2. Para o carregamento real P:
    • Faça equilíbrio global para obter reações se necessário.
    • Use método dos nós (ou seções) para encontrar as forças axiais N_i em função de P. Divida por P para obter \alpha_i.
  3. Para a carga virtual:
    • Aplique uma carga unitária 1 no nó B na mesma direção do deslocamento cuja magnitude você quer (por exemplo, 1\\ \text{lb} ou 1\\ \text{kips}). Resolva o sistema estático do truss para obter n_i (forças axiais no mesmo conjunto de membros).
  4. Calcule a soma \sum_{i=1}^3 \alpha_i n_i L_i.
  5. Substitua em
P_{\max} = \frac{\delta_{allow}\, A E}{\sum_{i=1}^{3} \alpha_i n_i L_i}.
  1. Verifique unidades e o sinal final de P_{\max}. Se você preferir trabalhar em kips, converta E=29{,}000\\ \text{ksi} e A em in ^2 adequadamente.

Passo 7

Por que não dei um número final e o que eu preciso para dar o valor de P:
  • Sem a figura / medidas (comprimentos L_i, ângulos, ponto de aplicação de P) não há como determinar numericamente os coeficientes \alpha_i nem as forças virtuais n_i. Portanto não é possível calcular um valor numérico para P_{\max}.
  • Se você me fornecer a figura (ou as coordenadas dos nós e a localização/direção de P), eu aplico exatamente os passos acima e trago a conta completa, com todos os cálculos e o valor numérico final, explicado passo a passo.

Resposta

Não é possível determinar numericamente P porque a geometria do pórtico (comprimentos e orientações dos membros e posição/direção da carga P) não foi fornecida. Fórmula geral:
P_{\max}=\frac{\delta_{allow}\, A E}{\displaystyle\sum_{i=1}^{3} \alpha_i n_i L_i},
onde N_i=\alpha_i P são as forças axiais reais e n_i as forças axiais para a carga virtual unitária aplicada no nó B na direção do deslocamento.

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