The load of 2000 lb is to be supported by the two vertical steel wires for which \sigma_{Y}=70 \mathrm{ksi}. Originally wire A B is 60 in . long and wire A C is 60.04 in . long. Determine the force developed in each wire after the load is suspended. Each wire has a cross-sectional area of 0.02 \mathrm{in}^{2} . E_{\mathrm{st}}=29.0\left(10^{3}\right) \mathrm{ksi}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as forças desenvolvidas em cada um dos dois fios verticais após a carga ser suspensa. Dados fornecidos (vou listar exatamente os números que o enunciado deu):
  • Carga total a ser sustentada: W=2000\\ \text{lb}.
  • Comprimento original do fio AB: L_{AB,0}=60{,}00\\ \text{in}.
  • Comprimento original do fio AC: L_{AC,0}=60{,}04\\ \text{in}.
  • Área de secção transversal de cada fio: A=0{,}02\\ \text{in}^2.
  • Módulo de elasticidade do aço: E=29{,}0\!\times\!10^{3}\\ \text{ksi}.
  • Tensão de escoamento fornecida: \sigma_Y=70\\ \text{ksi} (valor para verificar se há escoamento).
  • Pergunta: determinar as forças em AB e em AC após suspensão da carga.

Passo 2

Entendimento físico e hipótese de compatibilidade (a peça que liga as extremidades inferiores é rígida e permanece horizontal): quando a carga é aplicada, as extremidades inferiores dos fios têm a mesma deslocamento vertical, logo os comprimentos finais dos fios são iguais entre si. Seja L_f o comprimento comum final. Então as elongações (variações de comprimento) são
\delta_{AB}=L_f-L_{AB,0},\qquad \delta_{AC}=L_f-L_{AC,0}.
Subtraindo as duas equações obtemos uma relação independente de L_f:
\delta_{AB}-\delta_{AC}=L_{AC,0}-L_{AB,0}.
Como L_{AC,0}-L_{AB,0}=0{,}04\\ \text{in}, temos a condição de compatibilidade
\delta_{AB}-\delta_{AC}=0{,}04\\ \text{in}.

Passo 3

Relação tensão-deformação (Lei de Hooke) e relação força–elongação:
  • A deformação axial é \varepsilon=\dfrac{\delta}{L_0}.
  • A tensão é \sigma=E\varepsilon=E\dfrac{\delta}{L_0}.
  • A força axial é F=\sigma A. Substituindo:
F = A E \frac{\delta}{L_0}.
Definimos a rigidez axial do fio i como
k_i=\frac{AE}{L_{i,0}},
de modo que
F_i=k_i\,\delta_i.
Aqui i vale AB ou AC. Vou usar essa forma porque transforma compatibilidade em equações lineares em F_i.

Passo 4

Equilíbrio vertical da carga e compatibilidade em termos das forças:
  • Equilíbrio: as duas tensões sustentam a carga
F_{AB}+F_{AC}=W.
  • Compatibilidade (usando \delta_i=F_i/k_i):
\frac{F_{AB}}{k_{AB}}-\frac{F_{AC}}{k_{AC}}=0{,}04\\ \text{in}.
Temos, portanto, um sistema linear com duas equações e duas incógnitas F_{AB} e F_{AC}.

Passo 5

Conversões e cálculo das rigidezes k_{AB} e k_{AC}:
  • Para coerência de unidades, converto a carga para kips: W=2000\\ \text{lb}=2{,}000\\ \text{lb}=2{,}0\\ \text{kips} (1 kip = 1000 lb). Isso porque E foi dado em \text{ksi} (kips/in^2).
  • Interpretando E=29{,}0\times10^{3}\\ \text{ksi}=29{,}000\\ \text{ksi}.
  • Cálculo de AE:
AE = A\cdot E = 0{,}02\\ \text{in}^2 \times 29{,}000\\ \text{ksi} = 580\\ \text{kips}.
Observação: 1\\ \text{ksi}=1\\ \text{kips}/\text{in}^2, logo AE tem unidade de kips.
  • Rigidezes:
k_{AB}=\frac{AE}{L_{AB,0}}=\frac{580}{60{,}00}=9{,}6666667\\ \text{kips/in},
k_{AC}=\frac{AE}{L_{AC,0}}=\frac{580}{60{,}04}\approx 9{,}6602222\\ \text{kips/in}.
(Arredondei para algumas casas decimais mantendo precisão suficiente.)

Passo 6

Resolver o sistema. Escrevendo as equações em kips:
\begin{cases} F_{AB}+F_{AC}=2{,}0\\[6pt] \dfrac{F_{AB}}{k_{AB}}-\dfrac{F_{AC}}{k_{AC}}=0{,}04 \end{cases}
Expressão algébrica para eliminar F_{AC}: da primeira equação F_{AC}=2{,}0-F_{AB}. Substituindo na segunda:
\frac{F_{AB}}{k_{AB}}-\frac{2{,}0-F_{AB}}{k_{AC}}=0{,}04.
Multiplicando ambos os lados por k_{AB}k_{AC} e isolando F_{AB}:
F_{AB}(k_{AC}+k_{AB}) = 2{,}0\,k_{AB} + 0{,}04\,k_{AB}k_{AC}.
Logo
F_{AB}=\frac{2{,}0\,k_{AB} + 0{,}04\,k_{AB}k_{AC}}{k_{AB}+k_{AC}}.
Agora substituímos os valores numéricos:
  • Primeiro k_{AB}+k_{AC}\approx 9{,}6666667+9{,}6602222=19{,}3268889\\ \text{kips/in}.
  • Produto k_{AB}k_{AC}\approx 9{,}6666667\times9{,}6602222\approx93{,}38214815\\ (\text{kips/in})^2.
  • Numerador: 2{,}0\,k_{AB} + 0{,}04\,k_{AB}k_{AC}\approx 2{,}0\times9{,}6666667 + 0{,}04\times93{,}38214815.
  • Calculando: 2{,}0\times9{,}6666667=19{,}3333334. E 0{,}04\times93{,}38214815=3{,}7352859.
  • Numerador total \approx 19{,}3333334+3{,}7352859=23{,}0686193.
Portanto
F_{AB}\approx\frac{23{,}0686193}{19{,}3268889}\approx 1{,}1936\\ \text{kips}.]

Passo 7

Obter F_{AC} e verificar tensões:
  • F_{AC}=2{,}0-F_{AB}\approx 2{,}0-1{,}1936=0{,}8064\\ \text{kips}.
  • Converter para libras: F_{AB}\approx 1{,}1936\\ \text{kips}=1193{,}6\\ \text{lb}. F_{AC}\approx0{,}8064\\ \text{kips}=806{,}4\\ \text{lb}.
  • Tensões nos fios: \sigma_{AB}=F_{AB}/A (em ksi se F em kips e A em in^2):
\sigma_{AB}=\frac{1{,}1936}{0{,}02}=59{,}68\\ \text{ksi},
\sigma_{AC}=\frac{0{,}8064}{0{,}02}=40{,}32\\ \text{ksi}.
Comparação com o limite de escoamento: \sigma_{AB}=59{,}68\\ \text{ksi}<\sigma_Y=70\\ \text{ksi}, logo não ocorre escoamento. (Bom sinal — o fio mais carregado ainda está abaixo do limite.)

Passo 8

Resumo do raciocínio para a hora da prova (passos práticos que você pode repetir rápido):
  1. Identifique compatibilidade (comprimentos finais iguais -> relação entre elongações).
  2. Use Lei de Hooke para escrever F=k\delta com k=AE/L_0.
  3. Escreva equilíbrio F_1+F_2=W e a equação de compatibilidade em termos de F_i.
  4. Resolva o sistema linear (substituição ou eliminação).
  5. Verifique unidades (converta para kips se E está em ksi) e compare tensões com \sigma_Y.

Resposta

\;F_{AB}=1193{,}6\\ \text{lb}
\;F_{AC}=806{,}4\\ \text{lb}

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