The column is constructed from high-strength concrete and eight A992 steel reinforcing rods. If the column is subjected to an axial force of 200 kip , determine the average normal stress in the concrete and in each rod. Each rod has a diameter of 1 in .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão média normal no concreto e a tensão média normal em cada uma das barras de aço quando a coluna é submetida a uma força axial de 200 kip.
Informações fornecidas no enunciado:
\;P = 200\\ \text{kip} (força axial total)
\;8 barras de aço (oito hastes)
\;d_{\text{barra}} = 1\\ \text{in} (diâmetro de cada barra)
Informações que não foram fornecidas (e que são necessárias para obter valores numéricos definitivos):
\;A_c = área da seção transversal do concreto (não informada)
\;E_c = módulo de elasticidade do concreto (não informado)
Observação: sem a área do concreto A_c e sem a relação entre os módulos (ou pelo menos E_c), não é possível obter números finais para as tensões. A seguir eu mostro passo a passo como obter as fórmulas corretas e como calcular numericamente caso você tenha (ou o enunciado forneça) A_c e E_c.

Passo 2

Entendimento físico e hipóteses usadas (explicação didática):
Quando um membro composto (concreto + barras de aço embutidas) é submetido a uma força axial centrada, todas as fibras da seção têm a mesma deformação axial (compatibilidade de deformação), ou seja, \varepsilon_{\text{concreto}}=\varepsilon_{\text{aço}}ç. A partir de Hooke (para comportamento elástico linear), a tensão média em cada material relaciona-se com a deformação por
\sigma = E\,\varepsilon,
onde \sigma é a tensão média, E é o módulo de elasticidade do material e \varepsilon é a deformação média. Como as deformações são iguais, as tensões médias são proporcionais aos módulos: a razão entre as tensões é igual à razão entre os módulos:
\frac{\sigma_s}{\sigma_c}=\frac{E_s}{E_c}.
Além disso, o equilíbrio das forças na seção exige que a força total P seja a soma das forças internas no concreto e no aço:
P=\sigma_c A_c + \sigma_s A_s,
onde A_c é a área do concreto e A_s é a área total de aço (soma das áreas das 8 barras). Essas duas relações (compatibilidade e equilíbrio) permitem resolver as tensões médias.

Passo 3

Cálculo da área de aço disponível (explicação e conta passo a passo):
Área de uma barra circular de diâmetro d:
A_{\text{barra}}=\frac{\pi d^2}{4}.
Com d=1\\ \text{in},
A_{\text{barra}}=\frac{\pi(1)^2}{4}=\frac{\pi}{4}\\ \text{in}^2.
Como há 8 barras, a área total de aço é
A_s = 8\cdot A_{\text{barra}} = 8\cdot\frac{\pi}{4}=2\pi\\ \text{in}^2 \approx 6{,}2832\\ \text{in}^2.
Observe: eu calculei A_s a partir do diâmetro que você forneceu; isto veio diretamente do enunciado.

Passo 4

Definir variáveis e escrever as equações em forma conveniente (didática):
Defina
\sigma_c=\text{tensão média no concreto},\qquad \sigma_s=\text{tensão média no aço},ãéãéç
E_c=\text{módulo do concreto},\qquad E_s=\text{módulo do aço (A992)}.óóç
Defina também a razão modular
n=\frac{E_s}{E_c}.
Da compatibilidade de deformações temos
\sigma_s = n\,\sigma_c.
Da condição de equilíbrio (forças):
P = \sigma_c A_c + \sigma_s A_s = \sigma_c A_c + n\,\sigma_c A_s = \sigma_c\,(A_c + n A_s).

Passo 5

Isolar a tensão média no concreto (passo algébrico explicado):
Da última equação, isolamos \sigma_c:
\sigma_c = \frac{P}{A_c + n A_s}.
Explicando cada termo:
  • P é a força axial total (aqui 200\\ \text{kip}).
  • A_c é a área de concreto (precisa ser conhecida).
  • A_s já calculamos: A_s = 2\pi\\ \text{in}^2.
  • n=E_s/E_c é a razão dos módulos (precisa de E_c; E_s para aço A992 é tipicamente E_s\approx 29{,}000\\ \text{ksi}).

Passo 6

Expressão para a tensão no aço e interpretação (didática):
Uma vez que \sigma_c foi encontrada, a tensão média em cada haste de aço é
\sigma_s = n\,\sigma_c = \frac{nP}{A_c + n A_s}.
A força total no aço seria \sigma_s A_s; a força no concreto é \sigma_c A_c; e a soma é P. As unidades: se P for em kip e áreas em \text{in}^2, então \sigma virá em \text{kip}/\text{in}^2 que é igual a \text{ksi}.

Passo 7

Como obter valores numéricos (se você tiver os dados que faltam) — instrução prática passo a passo:
  1. Determine A_c (área da seção de concreto) a partir das dimensões da coluna (essa é a informação que falta no enunciado que você me passou).
  2. Escolha/obtenha E_c. Se o enunciado disser “high-strength concrete” sem dar f'_c ou E_c, uma prática comum é usar a fórmula do ACI para módulo do concreto em psi:
E_c \approx 57{,}000\sqrt{f'_c}\quad(\text{psi}),
onde f'_c é a resistência à compressão em psi; ou usar um valor típico para concreto de alta resistência (por exemplo, E_c\approx 4{,}000\\ \text{ksi} como ordem de grandeza), lembrando que isto é uma aproximação.
3. Use E_s\approx 29{,}000\\ \text{ksi} para aço A992 para calcular n=E_s/E_c.
4. Substitua P, A_c, A_s=2\pi\\ \text{in}^2 e n na fórmula de \sigma_c e calcule \sigma_s.
Exemplo ilustrativo (APENAS EXEMPLIFICATIVO — não é a resposta final porque falta A_c no enunciado): suponha que a área do concreto fosse A_c=200\\ \text{in}^2 e E_c=4{,}000\\ \text{ksi}. Então n=29{,}000/4{,}000=7{,}25. Com A_s=2\pi\approx 6{,}2832\\ \text{in}^2 e P=200\\ \text{kip},
\sigma_c=\frac{200}{200 + 7{,}25\cdot 6{,}2832}\\ \text{ksi}\approx\frac{200}{200 + 45{,}554}\\ \text{ksi}\approx 0{,}436\\ \text{ksi},
\sigma_s = 7{,}25\cdot 0{,}436\\ \text{ksi}\approx 3{,}16\\ \text{ksi}.
(Aqui eu mostrei o procedimento de cálculo; os números acima servem só como demonstração de como usar as fórmulas.)

Passo 8

Resumo do procedimento para a prova (dicas rápidas e motivação):
  • Sempre primeiro identifique quais áreas e quais módulos você precisa.
  • Calcule a área total do aço (como eu fiz) com \pi d^2/4 e multiplique pelo número de barras.
  • Use a compatibilidade de deformações para relacionar tensões por n=E_s/E_c.
  • Use equilíbrio de forças para resolver a tensão do concreto, então ache a do aço.
  • Verifique unidades (kip/in^2 = ksi).
    Você consegue — falta só trazer A_c (da figura da seção) e, se necessário, E_c (ou f'_c) do enunciado.

Resposta

\displaystyle \sigma_c=\frac{P}{A_c + n\,A_s}, onde \;A_s=2\pi\\ \text{in}^2 e \;n=\dfrac{E_s}{E_c}.\n
\displaystyle \sigma_s = n\,\sigma_c = \frac{nP}{A_c + n\,A_s}.

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