The column is constructed from high-strength concrete and eight A992 steel reinforcing rods. If the column is subjected to an axial force of 200 kip , determine the average normal stress in the concrete and in each rod. Each rod has a diameter of 1 in .
Passo 1
O enunciado pede: determinar a tensão média normal no concreto e a tensão média normal em cada uma das barras de aço quando a coluna é submetida a uma força axial de
kip.
Informações fornecidas no enunciado:
(força axial total)
barras de aço (oito hastes)
(diâmetro de cada barra)
Informações fornecidas no enunciado:
Informações que não foram fornecidas (e que são necessárias para obter valores numéricos definitivos):
= área da seção transversal do concreto (não informada)
= módulo de elasticidade do concreto (não informado)
Observação: sem a área do concreto
e sem a relação entre os módulos (ou pelo menos
), não é possível obter números finais para as tensões. A seguir eu mostro passo a passo como obter as fórmulas corretas e como calcular numericamente caso você tenha (ou o enunciado forneça)
e
.
Passo 2
Entendimento físico e hipóteses usadas (explicação didática):
Quando um membro composto (concreto + barras de aço embutidas) é submetido a uma força axial centrada, todas as fibras da seção têm a mesma deformação axial (compatibilidade de deformação), ou seja, . A partir de Hooke (para comportamento elástico linear), a tensão média em cada material relaciona-se com a deformação por
Quando um membro composto (concreto + barras de aço embutidas) é submetido a uma força axial centrada, todas as fibras da seção têm a mesma deformação axial (compatibilidade de deformação), ou seja,
onde
é a tensão média,
é o módulo de elasticidade do material e
é a deformação média. Como as deformações são iguais, as tensões médias são proporcionais aos módulos: a razão entre as tensões é igual à razão entre os módulos:
Além disso, o equilíbrio das forças na seção exige que a força total
seja a soma das forças internas no concreto e no aço:
onde
é a área do concreto e
é a área total de aço (soma das áreas das 8 barras). Essas duas relações (compatibilidade e equilíbrio) permitem resolver as tensões médias.
Passo 3
Cálculo da área de aço disponível (explicação e conta passo a passo):
Área de uma barra circular de diâmetro :
Área de uma barra circular de diâmetro
Com
,
Como há 8 barras, a área total de aço é
Observe: eu calculei
a partir do diâmetro que você forneceu; isto veio diretamente do enunciado.
Passo 4
Definir variáveis e escrever as equações em forma conveniente (didática):
Defina
Defina
Defina também a razão modular
Da compatibilidade de deformações temos
Da condição de equilíbrio (forças):
Passo 5
Isolar a tensão média no concreto (passo algébrico explicado):
Da última equação, isolamos :
Da última equação, isolamos
Explicando cada termo:
-
é a força axial total (aqui ). -
é a área de concreto (precisa ser conhecida). -
já calculamos: . -
é a razão dos módulos (precisa de ; para aço A992 é tipicamente ).
Passo 6
Expressão para a tensão no aço e interpretação (didática):
Uma vez que foi encontrada, a tensão média em cada haste de aço é
Uma vez que
A força total no aço seria
; a força no concreto é
; e a soma é
. As unidades: se
for em kip e áreas em
, então
virá em
que é igual a
.
Passo 7
Como obter valores numéricos (se você tiver os dados que faltam) — instrução prática passo a passo:
- Determine
(área da seção de concreto) a partir das dimensões da coluna (essa é a informação que falta no enunciado que você me passou). - Escolha/obtenha
. Se o enunciado disser “high-strength concrete” sem dar ou , uma prática comum é usar a fórmula do ACI para módulo do concreto em psi:
onde
é a resistência à compressão em psi; ou usar um valor típico para concreto de alta resistência (por exemplo,
como ordem de grandeza), lembrando que isto é uma aproximação.
3. Use para aço A992 para calcular
.
4. Substitua ,
,
e
na fórmula de
e calcule
.
3. Use
4. Substitua
Exemplo ilustrativo (APENAS EXEMPLIFICATIVO — não é a resposta final porque falta
no enunciado): suponha que a área do concreto fosse
e
. Então
. Com
e
,
(Aqui eu mostrei o procedimento de cálculo; os números acima servem só como demonstração de como usar as fórmulas.)
Passo 8
Resumo do procedimento para a prova (dicas rápidas e motivação):
- Sempre primeiro identifique quais áreas e quais módulos você precisa.
- Calcule a área total do aço (como eu fiz) com
e multiplique pelo número de barras. - Use a compatibilidade de deformações para relacionar tensões por
. - Use equilíbrio de forças para resolver a tensão do concreto, então ache a do aço.
- Verifique unidades (kip/in^2 = ksi).
Você consegue — falta só trazer(da figura da seção) e, se necessário, (ou ) do enunciado.