The radius of the n=1 orbit in the hydrogen atom is a_{0}=0.053 \mathrm{~nm}. (a) Compute the radius of the n=6 orbit. (b) Compute the radius of the n=6 orbit in singly ionized helium \left(\mathrm{He}^{+}\right), which is hydrogen-like, i.e., it has only a single electron outside the nucleus.

Passo 1

O enunciado pertence ao modelo de Bohr para átomos hidrogenoides. Sabemos que o raio do nível n em um átomo com carga nuclear Z é dado por
r_{n} \;=\;\frac{n^{2}\,a_{0}}{Z},
onde a_{0}=0.053\\ \mathrm{nm} é o raio de Bohr para Z=1. Precisamos achar:
(a) r_{6} para o átomo de hidrogênio ( Z=1);
(b) r_{6} para \mathrm{He}^{+} ( Z=2).

Passo 2

Para o hidrogênio ( Z=1), a fórmula fica
r_{6} \;=\;6^{2}\,a_{0}\;=\;36\,a_{0}.
Numericamente,
r_{6} \;=\;36\times 0.053\,\mathrm{nm}\;=\;1.908\,\mathrm{nm}.

Passo 3

Para o íon \mathrm{He}^{+} ( Z=2), usamos
r_{6} \;=\;\frac{6^{2}\,a_{0}}{2}\;=\;\frac{36\,a_{0}}{2}\;=\;18\,a_{0}.
Numericamente,
r_{6} \;=\;18\times 0.053\,\mathrm{nm}\;=\;0.954\,\mathrm{nm}.

Resposta

(a) r_{6}=1{,}908\\ \mathrm{nm}\approx1{,}91\\ \mathrm{nm}.
(b) r_{6}=0{,}954\\ \mathrm{nm}\approx0{,}95\\ \mathrm{nm}.

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