The spacing between Newton’s rings decreases rapidly as the diameter of the rings increases. Explain why this result occurs. ssm
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar por que o espaçamento radial entre os anéis de Newton diminui rapidamente quando o diâmetro (ou raio) dos anéis aumenta.
Informações relevantes e o que vamos usar (estas são as peças do quebra-cabeça):
- A luz usada tem comprimento de onda
. - Os anéis aparecem por interferência em uma película de ar entre uma lente plano‑convexa e uma placa plana.
- Seja
o raio de curvatura da superfície convexa da lente. - Seja
o raio do -ésimo anel (contando a partir do centro). - Para anéis consecutivos a espessura da película muda sempre pelo mesmo valor (uma fração do comprimento de onda) — veremos isso com detalhe nos próximos passos.
Nada mais será assumido sem explicação.
Passo 2
Entender a relação geométrica entre espessura da película e raio do anel (isso vem da forma da lente).
Descrição física: a lente plano‑convexa tem uma superfície esférica. No ponto a distância radial
do centro, a altura (espessura da película de ar)
entre lente e placa é aproximadamente a folga entre a esfera e o plano.
Para pequenas aberturas (ou seja,
pequeno comparado a
) podemos usar a aproximação geométrica padrão:
Explicando essa fórmula: é a expansão em série da equação da esfera; ela diz que a altura cresce proporcionalmente ao quadrado do raio
. Cada variável significa:
-
: espessura local da película de ar (m), -
: distância radial do centro até o ponto de interesse (m), -
: raio de curvatura da lente (m).
É crucial perceber a dependência quadrática:
cresce como
. Isso já dá uma dica: para obter um acréscimo fixo em
é preciso um acréscimo menor em
quando
é grande.
Passo 3
Entender a condição de interferência e quanto a espessura muda entre dois anéis consecutivos.
Conceito de física: cada anel corresponde a uma condição de interferência (destrutiva ou construtiva) que ocorre quando a diferença de caminho óptico atinge certos múltiplos de
. Entre duas franjas adjacentes a film thickness varia por um valor fixo
que satisfaz
Explicando: a diferença de caminho para a reflexão na película é
(ida e volta). Para mudar de uma franja para a próxima essa diferença deve mudar em
. Isso significa que a espessura da película precisa aumentar de
entre duas franjas consecutivas. Esse é um ponto simples e importante: a variação de espessura entre franjas é constante e igual a
.
Passo 4
Combinar a relação geométrica com a condição de interferência para obter a fórmula dos raios dos anéis.
Usando
e sabendo que entre anéis consecutivos
, para os raios dos anéis temos:
Logo
Isso implica uma forma explícita com índice
:
(índice zero ou deslocamentos de índice dependem da convenção adotada para anel central, mas a dependência principal
e o passo entre quadrados é
é o que importa).
Passo 5
Calcular o espaçamento radial entre anéis consecutivos e ver como ele varia com
.
O espaçamento radial entre o
-ésimo e o
-ésimo anel é
Usando a diferença de quadrados:
Portanto
Agora, para anéis com
grande (ou seja, raios maiores) temos
, então
e
Isto mostra explicitamente que
diminui quando
cresce: o espaçamento cai aproximadamente como
. Em outras palavras, quanto mais longe do centro, menor o incremento radial necessário para aumentar
em
, porque
já cresce rapidamente com
.
Passo 6
Intuição física final e exemplo numérico simples para consolidar.
Intuição direta: cada anel representa um incremento fixo de espessura
. Mas a espessura cresce como
. Quando você está perto do centro, um pequeno aumento em
provoca um pequeno aumento em
(porque
é pequeno), então os anéis ficam relativamente espaçados. Quando
é grande, a mesma variação fixa
em
é conseguida por um aumento muito menor em
(pois
já cresce rápido com
), então os anéis ficam bem próximos. Isso explica por que o espaçamento diminui “rapidamente” com o aumento do diâmetro.
Exemplo numérico rápido (sem calculadora pesada): suponha
e
fixos; se
dobra,
cai aproximadamente pela metade (pela dependência
). Isso já dá a sensação de queda rápida.
Resposta
Porque cada anel corresponde a um aumento fixo da espessura da película
, e como a espessura geométrica cresce com o quadrado do raio segundo
, o incremento radial necessário para aumentar
em
diminui com
. Matematicamente, com
tem‑se
,
logo decresce quando
(ou o diâmetro) aumenta.
logo