The spacing between Newton’s rings decreases rapidly as the diameter of the rings increases. Explain why this result occurs. ssm

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar por que o espaçamento radial entre os anéis de Newton diminui rapidamente quando o diâmetro (ou raio) dos anéis aumenta.
Informações relevantes e o que vamos usar (estas são as peças do quebra-cabeça):
  • A luz usada tem comprimento de onda \lambda.
  • Os anéis aparecem por interferência em uma película de ar entre uma lente plano‑convexa e uma placa plana.
  • Seja R o raio de curvatura da superfície convexa da lente.
  • Seja r_m o raio do m-ésimo anel (contando a partir do centro).
  • Para anéis consecutivos a espessura da película muda sempre pelo mesmo valor (uma fração do comprimento de onda) — veremos isso com detalhe nos próximos passos.
    Nada mais será assumido sem explicação.

Passo 2

Entender a relação geométrica entre espessura da película e raio do anel (isso vem da forma da lente).
Descrição física: a lente plano‑convexa tem uma superfície esférica. No ponto a distância radial r do centro, a altura (espessura da película de ar) t entre lente e placa é aproximadamente a folga entre a esfera e o plano.
Para pequenas aberturas (ou seja, t pequeno comparado a R) podemos usar a aproximação geométrica padrão:
t \approx \frac{r^2}{2R}.
Explicando essa fórmula: é a expansão em série da equação da esfera; ela diz que a altura cresce proporcionalmente ao quadrado do raio r. Cada variável significa:
  • t: espessura local da película de ar (m),
  • r: distância radial do centro até o ponto de interesse (m),
  • R: raio de curvatura da lente (m).
É crucial perceber a dependência quadrática: t cresce como r^2. Isso já dá uma dica: para obter um acréscimo fixo em t é preciso um acréscimo menor em r quando r é grande.

Passo 3

Entender a condição de interferência e quanto a espessura muda entre dois anéis consecutivos.
Conceito de física: cada anel corresponde a uma condição de interferência (destrutiva ou construtiva) que ocorre quando a diferença de caminho óptico atinge certos múltiplos de \lambda. Entre duas franjas adjacentes a film thickness varia por um valor fixo \Delta t que satisfaz
2\Delta t = \lambda \quad\Rightarrow\quad \Delta t = \frac{\lambda}{2}.
Explicando: a diferença de caminho para a reflexão na película é 2t (ida e volta). Para mudar de uma franja para a próxima essa diferença deve mudar em \lambda. Isso significa que a espessura da película precisa aumentar de \lambda/2 entre duas franjas consecutivas. Esse é um ponto simples e importante: a variação de espessura entre franjas é constante e igual a \lambda/2.

Passo 4

Combinar a relação geométrica com a condição de interferência para obter a fórmula dos raios dos anéis.
Usando t \approx \dfrac{r^2}{2R} e sabendo que entre anéis consecutivos \Delta t=\dfrac{\lambda}{2}, para os raios dos anéis temos:
t_m = \frac{r_m^2}{2R} \quad\text{e}\quad t_{m+1} - t_m = \frac{\lambda}{2}.
Logo
\frac{r_{m+1}^2 - r_m^2}{2R} = \frac{\lambda}{2} \quad\Rightarrow\quad r_{m+1}^2 - r_m^2 = R\lambda.
Isso implica uma forma explícita com índice m:
r_m^2 = m R \lambda
(índice zero ou deslocamentos de índice dependem da convenção adotada para anel central, mas a dependência principal r_m^2\propto m e o passo entre quadrados é R\lambda é o que importa).

Passo 5

Calcular o espaçamento radial entre anéis consecutivos e ver como ele varia com r.
O espaçamento radial entre o m-ésimo e o (m+1)-ésimo anel é
\Delta r_m = r_{m+1}-r_m.
Usando a diferença de quadrados:
r_{m+1}^2 - r_m^2 = (r_{m+1}-r_m)(r_{m+1}+r_m) = R\lambda.
Portanto
\Delta r_m = \frac{R\lambda}{r_{m+1}+r_m}.
Agora, para anéis com m grande (ou seja, raios maiores) temos r_{m+1}\approx r_m, então r_{m+1}+r_m\approx 2r_m e
\Delta r_m \approx \frac{R\lambda}{2 r_m}.
Isto mostra explicitamente que \Delta r_m diminui quando r_m cresce: o espaçamento cai aproximadamente como 1/r_m. Em outras palavras, quanto mais longe do centro, menor o incremento radial necessário para aumentar t em \lambda/2, porque t já cresce rapidamente com r^2.

Passo 6

Intuição física final e exemplo numérico simples para consolidar.
Intuição direta: cada anel representa um incremento fixo de espessura \lambda/2. Mas a espessura cresce como r^2. Quando você está perto do centro, um pequeno aumento em r provoca um pequeno aumento em t (porque r é pequeno), então os anéis ficam relativamente espaçados. Quando r é grande, a mesma variação fixa \lambda/2 em t é conseguida por um aumento muito menor em r (pois t já cresce rápido com r^2), então os anéis ficam bem próximos. Isso explica por que o espaçamento diminui “rapidamente” com o aumento do diâmetro.
Exemplo numérico rápido (sem calculadora pesada): suponha R e \lambda fixos; se r_m dobra, \Delta r_m cai aproximadamente pela metade (pela dependência \propto 1/r_m). Isso já dá a sensação de queda rápida.

Resposta

Porque cada anel corresponde a um aumento fixo da espessura da película \Delta t=\lambda/2, e como a espessura geométrica cresce com o quadrado do raio segundo t\approx r^2/(2R), o incremento radial necessário para aumentar t em \lambda/2 diminui com r. Matematicamente, com r_m^2=mR\lambda tem‑se
\displaystyle \Delta r_m=r_{m+1}-r_m=\frac{R\lambda}{r_{m+1}+r_m}\approx\frac{R\lambda}{2r_m},
logo \Delta r_m decresce quando r_m (ou o diâmetro) aumenta.

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