A phase difference due to a path-length difference is observed for monochromatic visible light. Which phase difference requires the least (minimum) path-length difference? (a) 90^{\circ},(b) 180^{\circ}, (c) 270^{\circ},(d) The answer depends on the wavelength of the light.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das diferenças de fase dadas exige a menor diferença de caminho (path-length difference) para luz monocromática visível. As opções são:
(a) 90^\circ, (b) 180^\circ, (c) 270^\circ, (d) depende do comprimento de onda.
Informação importante dada: a luz é monocromática (ou seja, tem um único comprimento de onda \lambda, fixo durante o experimento). A tarefa é comparar as diferenças de caminho necessárias para produzir cada diferença de fase listada.

Passo 2

Relação entre diferença de fase e diferença de caminho: cada comprimento de onda \lambda corresponde a uma variação de fase de 360^\circ (ou 2\pi radianos). Logo a variação de fase \Delta\varphi está ligada à diferença de caminho \Delta x por
\Delta\varphi \;(\text{radianos}) = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x.
Explicando as variáveis:
  • \Delta\varphi é a diferença de fase entre as ondas (em radianos se usar a forma acima);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz (mesma unidade usada para \Delta x);
  • \Delta x é a diferença de caminho (path-length difference) que queremos encontrar.
    Se preferirmos trabalhar em graus, a fórmula equivalente é
\Delta\varphi\;(\text{graus}) = 360^\circ\cdot\frac{\Delta x}{\lambda}.
Isolando \Delta x obtemos a relação útil para calcular a diferença de caminho necessária para uma dada diferença de fase:
\Delta x = \frac{\lambda}{360^\circ}\,\Delta\varphi.

Passo 3

Interpretação da fórmula: \Delta x é diretamente proporcional a \Delta\varphi com fator de proporcionalidade \lambda/360^\circ. Como a luz é monocromática, \lambda é fixo e positivo; portanto a ordem das \Delta x para diferentes \Delta\varphi é exatamente a ordem numérica das \Delta\varphi. Ou seja, menor \Delta\varphi → menor \Delta x.
Comparando as opções numéricas:
  • Para \Delta\varphi=90^\circ: \Delta x = \dfrac{\lambda}{360^\circ}\cdot 90^\circ = \dfrac{\lambda}{4}.
  • Para \Delta\varphi=180^\circ: \Delta x = \dfrac{\lambda}{360^\circ}\cdot 180^\circ = \dfrac{\lambda}{2}.
  • Para \Delta\varphi=270^\circ: \Delta x = \dfrac{\lambda}{360^\circ}\cdot 270^\circ = \dfrac{3\lambda}{4}.

Passo 4

Conclusão lógica: entre 90^\circ, 180^\circ e 270^\circ, o menor valor de \Delta\varphi é 90^\circ, portanto ele exige a menor diferença de caminho ( \Delta x=\lambda/4). A opção (d) está errada no sentido de que, embora o valor absoluto de \Delta x dependa de \lambda, a comparação entre as três opções não depende do valor numérico de \lambda quando a luz é monocromática (apenas é um fator multiplicativo comum). Então a resposta é a opção (a).

Resposta

(a) 90^\circ

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