The table below shows values of two differentiable functions f and g, as well as their derivatives.
x f(x) f’(x) g(x) g’(x)
2 4 -2 -1 2
Find h^{\prime}(2).
h(x)=\frac{f(x)}{3 g(x)}

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções diferenciáveis f e g com valores em x=2:
f(2)=4, f'(2)=-2, g(2)=-1, g'(2)=2.
Define-se
h(x)=\frac{f(x)}{3\,g(x)}
e pede-se h'(2). O conteúdo principal aqui é a regra do quociente de derivadas.

Passo 2

Reescrevemos
h(x)=\frac{1}{3}\,\frac{f(x)}{g(x)}
e aplicamos a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{f(x)}{g(x)}\Bigr) =\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}.
Portanto
h'(x)=\frac{1}{3}\,\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{[g(x)]^{2}}.

Passo 3

Substituindo x=2:
f'(2)\,g(2)-f(2)\,g'(2)=(-2)\cdot(-1)-4\cdot2=2-8=-6,
e
[g(2)]^{2}=(-1)^{2}=1.
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h'(2)=\frac{1}{3}\,\frac{-6}{1}=-2.

Resposta

-2

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