Questão 1

Ainda não respondida
Seja S=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} uma série infinta tal que a n-ésima soma parcial seja dada por S_{n}=2 n-\frac{3}{n}
Escolha uma ou mais:
a. \quad S=-1 \square
b. S=-3 \square
c. \quad S diverge. \square
d. S=2 \square

Passo 1

O enunciado nos dá uma série S = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} cuja n-ésima soma parcial é
S_{n} = 2n - \frac{3}{n}.
O que precisamos para decidir a convergência da série é verificar o comportamento de \lim_{n\to\infty}S_{n}.

Passo 2

Para que a série convirja, é necessário (e suficiente) que
\lim_{n\to\infty}S_{n}
seja um número finito. Vamos calcular
\lim_{n\to\infty}\Bigl(2n - \frac{3}{n}\Bigr).

Passo 3

Observamos que
\lim_{n\to\infty}2n = +\infty \quad\text{e}\quad \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n} = 0,
portanto
\lim_{n\to\infty}\Bigl(2n - \frac{3}{n}\Bigr) = +\infty,
logo as somas parciais crescem sem limite superior e a série diverge.

Resposta

c. \,S diverge.

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