The uniform I-beam has a mass of 60 kg per meter of its length. Determine the tension in the two supporting cables and the reaction at
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as tensões nas duas cordas (vou chamar de
e
) que sustentam a viga e a reação em
. O único dado numérico fornecido é que a viga é uniforme com massa por comprimento igual a
, ou seja, massa linear
.
Importante: o enunciado que você mandou depende de uma figura (posituação das cordas, ângulos delas, comprimento da viga, posição do apoio
, tipo do apoio em
— pino, rolete vertical somente, etc.). Essa figura e esses dados geométricos não foram enviados aqui. Sem esses dados geométricos e a informação do tipo de apoio em
, não é possível calcular valores numéricos das tensões nem da reação em
. Por isso, não posso obter números finais a partir só de
.
Passo 2
Mesmo sem os números, vou te ensinar passo a passo o que é preciso fazer e como resolver estruturadamente quando você tiver a figura. Assim, quando tiver a figura ou os dados, você aplica o procedimento na prova sem pânico.
-
Converter massa linear em força peso total:
- Se a viga tem comprimento
(isso vem da figura), a massa total é
- O peso (força gravitacional) é
ondeé a aceleração da gravidade. Na prova use (ou se o enunciado pedir). Aqui tem unidades de newtons (N). Explicando: massa em kg multiplicada por em dá newtons, que é a unidade de força. - Se a viga tem comprimento
-
Centro de gravidade (CG) da viga uniforme:
- Para uma viga homogênea, o peso total
age no centróide, que fica no meio da viga. Logo a posição do peso ao longo da viga é medida a partir de uma extremidade (ou conforme referência escolhida na figura).
- Para uma viga homogênea, o peso total
Passo 3
Como desenhar o diagrama de corpo livre (DCL) e escolher incógnitas:
- Desenhe a viga isolada, mostre o peso concentrado
atuando em . - Marque os pontos onde as duas cordas estão ligadas à viga; chame-os de ponto 1 (posição
medida a partir de uma referência) e ponto 2 (posição ). - Marque os ângulos que as cordas formam com a horizontal (ou com a viga):
e . - Indique o apoio
e especifique o tipo de apoio: - Se
é um pino fixo, ele fornece duas componentes de reação: e . - Se
é um rolete vertical, ele provê somente reação vertical . - O tipo de apoio muda quantas incógnitas existem e se o problema é estaticamente determinado.
- Se
Incógnitas gerais:
(as tensões nas cordas) e as componentes da reação em
(por exemplo
ou apenas
se for rolete).
Passo 4
Escrevendo as equações de equilíbrio estático (plano):
- Há três equações de equilíbrio para corpos rígidos no plano:
Supondo convenções usuais (eixos
horizontal,
vertical para cima):
- Equilíbrio horizontal:
Explicação: as cordas têm componentes horizontais
(se
medido da horizontal). A reação
aparece só se
for um pino; se
é rolete vertical, então
e essa equação reduz a uma relação entre
e
.
- Equilíbrio vertical:
Explicação: as componentes verticais das tensões são
(positivas para cima), e o peso
atua para baixo.
- Equilíbrio de momentos (escolha um ponto conveniente, tipicamente
para eliminar das equações):
- Momentos em relação a
:
Em notação mais explícita, para forças que têm só componentes verticais (por exemplo, se as cordas forem praticamente verticais), fica
Explicação: momento de uma força vertical em torno de
é força vertical vezes braço horizontal; sinais dependem do sentido rotacional.
Observação: se as cordas têm componentes horizontais que também geram momento (porque a linha de ação está acima/abaixo do centro da viga), então o termo do momento deve incluir essa contribuição. O modo rigoroso é usar produto vetorial posição × força ou decompor cada força em componentes e calcular seus momentos com os braços apropriados.
Passo 5
Análise da determinabilidade e solução simbólica do caso típico determinado
- Contagem de incógnitas vs equações:
- Se
é um pino (dois componentes ) e as cordas têm duas tensões , você tem 4 incógnitas e 3 equações → o problema é estaticamente indeterminado (não dá pra resolver apenas com equilíbrio estático). Nesse caso faltariam informações elásticas ou geométricas (deformações) para resolver (mecânica dos sólidos – compatibilidade). - Se
é um rolete que fornece somente , então incógnitas são (3 incógnitas) e há 3 equações → problema estaticamente determinado: resolvível com estática.
- Se
Vou resolver simbolicamente o caso determinado mais comum:
é rolete vertical (apenas
); as cordas estão no plano, ligadas nos pontos
e
(medidos desde uma referência, por exemplo extremo esquerdo) e fazem ângulos
com a horizontal.
Equações então:
Da (1) obtemos uma relação entre
e
:
(Sinal negativo indica que uma componente horizontal aponta em sentido oposto; ao usar valores numéricos tenha atenção ao sinal e à orientação das forças.)
Substitua essa expressão de
em (3) para encontrar
:
Simplificando usando
:
Logo,
Depois de
conhecido,
vem de
.
Finalmente, a reação vertical em
vem de (2):
Essas fórmulas são o caminho prático: primeiro a relação horizontal, depois momento para eliminar
, achar uma tensão, achar a outra e por fim
.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (sem números do seu problema porque faltam dados):
Exemplo 1 (caso simples, cordas verticais e simetria): se as duas cordas são verticais (
, então
,
). Se as cordas estão nas extremidades numa viga de comprimento
e o apoio
está no centro (
), então as equações reduzem a:
A segunda equação simplifica e nos dá relação entre
e
. Em casos simétricos
e
. Isso mostra como usar física e simetria para simplificar.
Exemplo 2 (cordas inclinadas e
rolete vertical): usar as fórmulas do passo anterior substituindo
.
Passo 7
Resumindo o que você precisa trazer para eu calcular numericamente (ou para você fazer na prova rapidamente):
- Comprimento da viga
. - Posições de fixação das cordas ao longo da viga:
e ou informação equivalente (por exemplo, “cordas nas duas extremidades”). - Ângulos das cordas
e ou dimensões que permitam calcular esses ângulos. - Localização e tipo do apoio
(pino com ou rolete vertical com apenas ; e posição ). - Se quiser valores numéricos, também confirmo se devo usar
ou outro valor.
Com esses dados eu aplico imediatamente as fórmulas acima, faço as contas passo a passo e te entrego as tensões
e a reação em
.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
,
e a reação em
porque a figura/dados geométricos necessários (comprimento
, posições
das cordas, ângulos
, posição e tipo do apoio
) não foram fornecidos.