Utilizando o critério de Routh-Hurwitz, determine a faixa de valores de K que fazem o sistema abaixo ser estável, instável e marginalmente estável. Considere o sistema com realimentação unitária negativa. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine, usando o critério de Routh–Hurwitz, para quais valores de
o sistema em realimentação unitária negativa é: estável, instável e marginalmente estável. As informações dadas são:
a realimentação é unitária negativa (ganho de realimentação igual a 1) e devemos considerar
. Não executo a resolução ainda; apenas listei o que foi pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Primeiro passo técnico: obter o polinômio característico do sistema em malha fechada (união com realimentação negativa). A condição característica é
Multiplicando por
obtemos o polinômio característico:
Agora expando
. Calculo em etapas:
Portanto o polinômio característico (denominador da malha fechada) é
Vou trabalhar com o polinômio
Passo 3
Agora aplico o critério de Routh. Vou explicar o que é necessário de forma didática:
- O critério de Routh constrói uma tabela com as linhas correspondentes às potências de
e permite verificar quantas raízes de estão no semiplano direito pela contagem de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela. - Para um polinômio cúbico
(com ), a tabela de Routh é:
onde o elemento
da linha
é calculado por
- A condição de estabilidade assintótica (todas as raízes com parte real negativa) é que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (supondo
). Cada mudança de sinal na primeira coluna indica um pólo no semiplano direito.]
Passo 4
Identifico os coeficientes do nosso polinômio
:
Construo a tabela de Routh usando esses coeficientes:
Linha
:
Linha :
Linha
Calculo
(linha
) usando a fórmula dada:
Linha
:
Linha :
Linha
Assim a primeira coluna é, em ordem de cima para baixo:
Passo 5
Determino as condições de estabilidade assintótica (todas as entradas da primeira coluna positivas). Como já foi dado
, precisamos apenas de
Resolvo essa desigualdade:
Juntando com
, concluímos que o sistema é assintoticamente estável para
Interpretação intuitiva: para ganhos
pequenos o laço compensa bem e mantém todos os polos à esquerda; se
excede
aparece pelo menos um pólo com parte real positiva.
Passo 6
Agora analiso as condições de marginalidade (casos de fronteira). Marginalmente estável ocorre quando aparece um elemento igual a zero numa linha (causando polos sobre o eixo imaginário) sem que haja mudança de sinal indicando polos no semiplano direito.
O caso relevante é quando
Esse é o ponto onde a linha
vira zero. Para tratar corretamente essa situação uso o polinômio auxiliar formado pela linha
. A linha
tinha os coeficientes
e
, então o polinômio auxiliar é
Colocando
obtemos
As raízes desse polinômio são
ou seja, um par conjugado puramente imaginário. Para confirmar a natureza do terceiro polo, dividimos o polinômio característico com
por
:
logo a terceira raiz é
(pólo real à esquerda). Portanto em
temos exatamente um par de polos imaginais puros e um pólo real estritamente negativo; isto caracteriza marginalidade (os polos imaginários não têm parte real negativa, logo não é assintoticamente estável). Assim:
Passo 7
Finalmente examino
. Para
temos
então a primeira coluna passa a ter um sinal negativo em
enquanto as entradas acima (1 e 5) são positivas e
é positivo. Isso gera exatamente uma mudança de sinal na primeira coluna — pelo critério de Routh isso significa exatamente um pólo no semiplano direito. Portanto o sistema é instável para qualquer
Passo 8
Resumo final (motivação e encorajamento): a conta ficou clara e direta com a tabela de Routh. Fica tranquilo: o procedimento é sempre o mesmo para polinômios — constrói-se a tabela, exige-se positividade da primeira coluna e analisa-se os casos em que aparecem zeros (polos sobre o eixo imaginário). Para este sistema específico as três regiões são simples de identificar.
Resposta
Estável:
Marginalmente estável: (pólos em
e
)
Instável:
Marginalmente estável:
Instável: