Utilizando o critério de Routh-Hurwitz, determine a faixa de valores de K que fazem o sistema abaixo ser estável, instável e marginalmente estável. Considere o sistema com realimentação unitária negativa. Considere \mathrm{K}>0.
G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+3)}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, usando o critério de Routh–Hurwitz, para quais valores de K o sistema em realimentação unitária negativa é: estável, instável e marginalmente estável. As informações dadas são:
G(s)=\frac{K}{s(s+2)(s+3)},
a realimentação é unitária negativa (ganho de realimentação igual a 1) e devemos considerar K>0. Não executo a resolução ainda; apenas listei o que foi pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro passo técnico: obter o polinômio característico do sistema em malha fechada (união com realimentação negativa). A condição característica é
1+G(s)=0.
Multiplicando por s(s+2)(s+3) obtemos o polinômio característico:
s(s+2)(s+3)+K=0.
Agora expando s(s+2)(s+3). Calculo em etapas:
(s+2)(s+3)=s^2+5s+6,
s(s^2+5s+6)=s^3+5s^2+6s.
Portanto o polinômio característico (denominador da malha fechada) é
s^3+5s^2+6s+K=0.
Vou trabalhar com o polinômio
\boxed{P(s)=s^3+5s^2+6s+K.}

Passo 3

Agora aplico o critério de Routh. Vou explicar o que é necessário de forma didática:
  • O critério de Routh constrói uma tabela com as linhas correspondentes às potências de s e permite verificar quantas raízes de P(s) estão no semiplano direito pela contagem de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela.
  • Para um polinômio cúbico P(s)=a_3 s^3 + a_2 s^2 + a_1 s + a_0 (com a_3>0), a tabela de Routh é:
\begin{array}{c|cc} s^3 & a_3 & a_1\\[4pt] s^2 & a_2 & a_0\\[4pt] s^1 & b_1 & 0\\[4pt] s^0 & a_0 & \end{array}
onde o elemento b_1 da linha s^1 é calculado por
b_1=\frac{a_2 a_1 - a_3 a_0}{a_2}.
  • A condição de estabilidade assintótica (todas as raízes com parte real negativa) é que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (supondo a_3>0). Cada mudança de sinal na primeira coluna indica um pólo no semiplano direito.]

Passo 4

Identifico os coeficientes do nosso polinômio P(s)=s^3+5s^2+6s+K:
a_3=1,\quad a_2=5,\quad a_1=6,\quad a_0=K.
Construo a tabela de Routh usando esses coeficientes:
Linha s^3: 1\quad 6
Linha s^2: 5\quad K
Calculo b_1 (linha s^1) usando a fórmula dada:
b_1=\frac{a_2 a_1 - a_3 a_0}{a_2}=\frac{5\cdot 6 - 1\cdot K}{5}=\frac{30-K}{5}=6-\frac{K}{5}.
Linha s^1: 6-\dfrac{K}{5}\quad 0
Linha s^0: K
Assim a primeira coluna é, em ordem de cima para baixo:
1,\;5,\;6-\frac{K}{5},\;K.

Passo 5

Determino as condições de estabilidade assintótica (todas as entradas da primeira coluna positivas). Como já foi dado K>0, precisamos apenas de
6-\frac{K}{5}>0.
Resolvo essa desigualdade:
6>\frac{K}{5}\quad\Longrightarrow\quad K<30.
Juntando com K>0, concluímos que o sistema é assintoticamente estável para
0<K<30.
Interpretação intuitiva: para ganhos K pequenos o laço compensa bem e mantém todos os polos à esquerda; se K excede 30 aparece pelo menos um pólo com parte real positiva.

Passo 6

Agora analiso as condições de marginalidade (casos de fronteira). Marginalmente estável ocorre quando aparece um elemento igual a zero numa linha (causando polos sobre o eixo imaginário) sem que haja mudança de sinal indicando polos no semiplano direito.
O caso relevante é quando
6-\frac{K}{5}=0 \quad\Longrightarrow\quad K=30.
Esse é o ponto onde a linha s^1 vira zero. Para tratar corretamente essa situação uso o polinômio auxiliar formado pela linha s^2. A linha s^2 tinha os coeficientes 5 e K, então o polinômio auxiliar é
A(s)=5s^2+K.
Colocando K=30 obtemos
A(s)=5s^2+30=5\bigl(s^2+6\bigr).
As raízes desse polinômio são
s=\pm j\sqrt{6},
ou seja, um par conjugado puramente imaginário. Para confirmar a natureza do terceiro polo, dividimos o polinômio característico com K=30 por s^2+6:
\frac{s^3+5s^2+6s+30}{s^2+6}=s+5,
logo a terceira raiz é s=-5 (pólo real à esquerda). Portanto em K=30 temos exatamente um par de polos imaginais puros e um pólo real estritamente negativo; isto caracteriza marginalidade (os polos imaginários não têm parte real negativa, logo não é assintoticamente estável). Assim:
K=30\quad\text{gera marginalmente estável (pólos em }\pm j\sqrt{6}\text{ e }-5\text{).}áó

Passo 7

Finalmente examino K>30. Para K>30 temos
6-\frac{K}{5}<0,
então a primeira coluna passa a ter um sinal negativo em s^1 enquanto as entradas acima (1 e 5) são positivas e K>0 é positivo. Isso gera exatamente uma mudança de sinal na primeira coluna — pelo critério de Routh isso significa exatamente um pólo no semiplano direito. Portanto o sistema é instável para qualquer
K>30.

Passo 8

Resumo final (motivação e encorajamento): a conta ficou clara e direta com a tabela de Routh. Fica tranquilo: o procedimento é sempre o mesmo para polinômios — constrói-se a tabela, exige-se positividade da primeira coluna e analisa-se os casos em que aparecem zeros (polos sobre o eixo imaginário). Para este sistema específico as três regiões são simples de identificar.

Resposta

Estável: 0<K<30
Marginalmente estável: K=30 (pólos em \pm j\sqrt{6} e -5)
Instável: K>30

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