theta Força resultante (N)
0,0^circ 8,00
45,0^circ 7,43
60,0^circ 7,00
90,0^circ 5,83
(a) Qual é o módulo da maior dessas duas forças? (b) Quando o equipamento é usado na linha de produção, o ângulo entre as duas forças é 30,0^circ. Qual é o módulo da força resultante neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos uma tabela que relaciona o ângulo theta entre duas forças e a força resultante FR. A parte (a) pergunta qual é o módulo da maior dessas duas forças. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria das forças resultantes quando duas forças estão em diferentes ângulos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a força resultante de duas forças que atuam em um ângulo theta. A fórmula para a força resultante FR é:
FR = raizF1^2 + F2^2 + 2F1F2cos(theta)
Onde:
  • F1 e F2 são as magnitudes das duas forças.
  • theta é o ângulo entre elas.

Passo 3

Vamos usar os dados da tabela para criar duas equações. Observando quando theta = 0^circ e theta = 90^circ.
Quando theta = 0^circ:
FR = F1 + F2 = 8,00 , N
Quando theta = 90^circ:
FR = raizF1^2 + F2^2 = 5,83 , N

Passo 4

Agora, temos o sistema de equações:
  1. F1 + F2 = 8,00
  2. raizF1^2 + F2^2 = 5,83
Vamos resolver esse sistema para encontrar F1 e F2.

Passo 5

Primeiro, da segunda equação:
raizF1^2 + F2^2 = 5,83
Elevando ambos os lados ao quadrado:
F1^2 + F2^2 = (5,83)^2 F1^2 + F2^2 = 33,9889

Passo 6

Da primeira equação, podemos isolar uma das forças. Vamos isolar F2:
F2 = 8,00 - F1

Passo 7

Agora, substituímos F2 na equação F1^2 + F2^2 = 33,9889:
F1^2 + (8,00 - F1)^2 = 33,9889 F1^2 + 64,00 - 16,00F1 + F1^2 = 33,9889
Simplificando:
2F1^2 - 16,00F1 + 64,00 = 33,9889 2F1^2 - 16,00F1 + 30,0111 = 0

Passo 8

Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
F1^2 - 8,00F1 + 15,00555 = 0
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
F1 = 8,00 pm raiz(-8,00)^2 - 4 times 1 times 15,005552 F1 = 8,00 pm raiz64,00 - 60,02222 F1 = 8,00 pm raiz3,97782 F1 = 8,00 pm 1,9942
Então, temos duas soluções:
  1. F1 = 8,00 + 1,9942 = 9,9942 = 4,997 , N
  2. F1 = 8,00 - 1,9942 = 6,0062 = 3,003 , N

Passo 9

Portanto, as duas forças são aproximadamente 5,00 , N e 3,00 , N. A maior delas é 5,00 , N.

Passo 10

Agora, para a parte (b), queremos encontrar a força resultante quando o ângulo entre as duas forças é 30,0^circ. Usaremos novamente a fórmula da força resultante:
FR = raizF1^2 + F2^2 + 2F1F2cos(theta)
Sabemos que F1 = 5,00 , N e F2 = 3,00 , N, e theta = 30,0^circ.

Passo 11

Substituindo os valores na fórmula:
FR = raiz(5,00)^2 + (3,00)^2 + 2 times 5,00 times 3,00 times cos(30,0^circ) FR = raiz25,00 + 9,00 + 30,00 times 0,8660 FR = raiz34,00 + 25,980 FR = raiz59,980 FR approx 7,75 , N

Resposta

(a) O módulo da maior força é aproximadamente 5,00 , N.
(b) A força resultante quando o ângulo entre as duas forças é 30,0^circ é aproximadamente 7,75 , N.

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