Se f(r, theta)=r tg theta-r^2 sen theta, calcule partial fpartial r(raiz2, pi4) e partial fpartial theta(3, pi). R: -1 e 12

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(r,theta)=rtantheta ;-;r^2sintheta,
e pede as derivadas parciais partial f/partial r em (r,theta)=(raiz2,pi/4) e partial f/partialtheta em (3,pi). Para isso, usamos as regras de derivada parcial: ao derivar em relação a r tratamos theta como constante, e ao derivar em relação a theta tratamos r como constante.

Passo 2

Para obter partial fpartial r, mantemos theta fixo:
partial fpartial r = partialpartial rl(rtantheta - r^2sinthetar) = tantheta ;-;2rsintheta
Agora avaliamos em l(r,thetar)=(raiz2,pi/4). Como tan(pi/4)=1 e sin(pi/4)=tfracraiz22, vem
partial fpartial r(raiz2,pi/4) = 1 ;-;2raiz2cdotraiz22 = 1 - 2 = -1

Passo 3

Para partial fpartialtheta, mantemos r fixo e lembramos que ddtheta(tantheta)=sec^2theta e ddtheta(sintheta)=costheta:
partial fpartialtheta = r,sec^2theta ;-;r^2costheta
Avaliando em (r,theta)=(3,pi), temos sec^2(pi)=1 (pois cospi=-1) e cos(pi)=-1, logo
partial fpartialtheta(3,pi) =3cdot1 ;-;9cdot(-1) =3 + 9 =12

Resposta

partial fpartial r(raiz2,pi/4)=-1
partial fpartialtheta(3,pi)=12

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