6.8 A 1.5 mm -thick, 80 mm -wide sheet of magnesium that is originally 5 m long is to be stretched to a final length of 6.2 m . What should
be the length of the sheet before the applied stress is released? The modulus of elasticity of magnesium is 45 GN m^-2 and the yield strength is 200 MN m^-2.

Passo 1

Temos uma lâmina de magnésio de comprimento original l0=5,0 m que, após ser esticada e descarregada, deve ficar com comprimento final lf=6,2 m. Sabemos o módulo de elasticidade E=45times10^9 Pa e a tensão de escoamento sigmay=200times10^6 Pa. Durante a aplicação da carga assume-se comportamento perfeitamente plástico após o escoamento, ou seja, a tensão permanece em sigmay enquanto ocorre deformação plástica. Ao descarregar, a parte elástica da deformação é recuperada, restando apenas a deformação plástica, que leva de l0 a lf. Queremos achar o comprimento sob carga, isto é, o comprimento antes de soltar o esforço.

Passo 2

Calculamos a deformação plástica residual varepsilonp a partir do alongamento permanente:
varepsilonp = lf - l0l0 = 6,2 - 5,05,0 = 0,24

Passo 3

A deformação elástica que ocorre enquanto a tensão está em sigmay é
varepsilone = sigmayE = 200times10^645times10^9 approx 0,00444

Passo 4

Sob a carga total, a deformação combinada (elástica mais plástica) é
varepsilontotal = varepsilone + varepsilonp = 0,00444 + 0,24 = 0,24444

Passo 5

O comprimento da lâmina enquanto está carregada é
lcarregada = l0,(1 + varepsilontotal) = 5,0 times (1 + 0,24444) approx 6,22 m

Resposta

O comprimento antes de liberar o esforço deve ser aproximadamente 6,22 m.

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