Resolva o que se pede.
Primeiramente, encontre a funçäo
dada por
Em seguida calcule o valor de
Sabendo que a constante
.
Em seguida calcule o valor de
Sabendo que a constante
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Primeiro, encontrar a função
definida por
- Em seguida, calcular o valor
, sabendo que a constante de integração é .
Informações relevantes dadas:
- Integrando:
. - A constante de integração vale
. - Precisamos dar a primitiva
(ou seja, um antiderivado explícito) e depois avaliá-la em .
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas de modo que seja mais fácil calcular
e
. Aqui:
-
é uma função que simplifica ao derivar (por exemplo um polinômio), -
é uma parte que sabemos integrar (por exemplo ).
Explicando o que cada símbolo significa:
-
é uma função de , -
é a derivada de multiplicada por , -
é outra parte da integral (um diferencial), -
é a primitiva de , ou seja .
Passo 3
Aplicamos integração por partes à integral principal escolhendo
Então
Usando a fórmula,
Simplificando o fator:
Agora precisamos calcular
.
Passo 4
Calculemos
por partes novamente. Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Portanto reduzimos o problema para
.
Passo 5
Agora calculamos
por partes. Tomamos
Então
Aplicando a fórmula:
Calcule a integral restante:
então
Passo 6
Voltemos para
. Substituindo o resultado do Passo 5:
Reagrupando:
Agora substituímos esse resultado na expressão do Passo 3:
Multiplicando
pelos termos:
Podemos arrumar um pouco os termos em
e
, mas essa expressão já é uma primitiva válida. Lembrando que o enunciado informou que
.
Passo 7
Agora calculamos
substituindo
na primitiva encontrada e usando
.
Usamos a primitiva
Avalie em
. Observe que
Como os termos com
multiplicam
, só ficam os termos com
e a constante:
Calcule
. Assim
Simplificando os coeficientes:
Agora substituímos
. Escrevendo
com denominador
para somar:
Então
Agrupando: