Resolva o que se pede.
Primeiramente, encontre a funçäo I(X) dada por
I(x)=\int x^{3} \cos (2 x) d x
Em seguida calcule o valor de
I(\pi / 2)
Sabendo que a constante \mathrm{C}=-4.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Primeiro, encontrar a função I(x) definida por
I(x)=\int x^{3}\cos(2x)\,dx.
  • Em seguida, calcular o valor I\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right), sabendo que a constante de integração é C=-4.
Informações relevantes dadas:
  • Integrando: x^{3}\cos(2x).
  • A constante de integração vale C=-4.
  • Precisamos dar a primitiva I(x) (ou seja, um antiderivado explícito) e depois avaliá-la em x=\dfrac{\pi}{2}.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas de modo que seja mais fácil calcular du e v. Aqui:
  • u é uma função que simplifica ao derivar (por exemplo um polinômio),
  • dv é uma parte que sabemos integrar (por exemplo \cos(2x)\,dx).
Explicando o que cada símbolo significa:
  • u é uma função de x,
  • du é a derivada de u multiplicada por dx,
  • dv é outra parte da integral (um diferencial),
  • v é a primitiva de dv, ou seja \int dv = v.

Passo 3

Aplicamos integração por partes à integral principal escolhendo
u = x^{3},\qquad dv=\cos(2x)\,dx.
Então
du = 3x^{2}\,dx,\qquad v = \int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x).
Usando a fórmula,
\int x^{3}\cos(2x)\,dx = x^{3}\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2x) - \int \tfrac{1}{2}\sin(2x)\cdot 3x^{2}\,dx.
Simplificando o fator:
\int x^{3}\cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}x^{3}\sin(2x) - \tfrac{3}{2}\int x^{2}\sin(2x)\,dx.
Agora precisamos calcular \int x^{2}\sin(2x)\,dx.

Passo 4

Calculemos \int x^{2}\sin(2x)\,dx por partes novamente. Escolhemos
u = x^{2},\qquad dv=\sin(2x)\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x).
Aplicando a fórmula:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = x^{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr) - \int \bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr)\cdot 2x\,dx.
Simplificando:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \int x\cos(2x)\,dx.
Portanto reduzimos o problema para \int x\cos(2x)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos \int x\cos(2x)\,dx por partes. Tomamos
u = x,\qquad dv=\cos(2x)\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x).
Aplicando a fórmula:
\int x\cos(2x)\,dx = x\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2x) - \int \tfrac{1}{2}\sin(2x)\,dx.
Calcule a integral restante:
\int \sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos(2x),
então
\int x\cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}x\sin(2x) - \tfrac{1}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr) = \tfrac{1}{2}x\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x).

Passo 6

Voltemos para \int x^{2}\sin(2x)\,dx. Substituindo o resultado do Passo 5:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \left(\tfrac{1}{2}x\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x)\right).
Reagrupando:
\int x^{2}\sin(2x)\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}x\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x) + C_{1}.
Agora substituímos esse resultado na expressão do Passo 3:
\int x^{3}\cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}x^{3}\sin(2x) - \tfrac{3}{2}\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{2}x\sin(2x) + \tfrac{1}{4}\cos(2x)\Bigr) + C.
Multiplicando -\tfrac{3}{2} pelos termos:
\int x^{3}\cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}x^{3}\sin(2x) + \tfrac{3}{4}x^{2}\cos(2x) - \tfrac{3}{4}x\sin(2x) - \tfrac{3}{8}\cos(2x) + C.
Podemos arrumar um pouco os termos em \sin(2x) e \cos(2x), mas essa expressão já é uma primitiva válida. Lembrando que o enunciado informou que C=-4.

Passo 7

Agora calculamos I\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) substituindo x=\dfrac{\pi}{2} na primitiva encontrada e usando C=-4.
Usamos a primitiva
I(x)=\tfrac{1}{2}x^{3}\sin(2x) + \tfrac{3}{4}x^{2}\cos(2x) - \tfrac{3}{4}x\sin(2x) - \tfrac{3}{8}\cos(2x) + C.
Avalie em x=\dfrac{\pi}{2}. Observe que
\sin\!\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin(\pi)=0,\qquad \cos\!\bigl(2\cdot \tfrac{\pi}{2}\bigr)=\cos(\pi)=-1.
Como os termos com \sin(2x) multiplicam 0, só ficam os termos com \cos(2x) e a constante:
I\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \tfrac{3}{4}\left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2}\cos(\pi) - \tfrac{3}{8}\cos(\pi) + C.
Calcule \left(\tfrac{\pi}{2}\right)^{2} = \tfrac{\pi^{2}}{4}. Assim
I\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \tfrac{3}{4}\cdot \tfrac{\pi^{2}}{4}\cdot(-1) - \tfrac{3}{8}\cdot(-1) + C.
Simplificando os coeficientes:
I\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -\tfrac{3\pi^{2}}{16} + \tfrac{3}{8} + C.
Agora substituímos C=-4. Escrevendo -4 com denominador 16 para somar:
-4 = -\tfrac{64}{16}.
Então
I\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -\tfrac{3\pi^{2}}{16} + \tfrac{6}{16} - \tfrac{64}{16} = -\tfrac{3\pi^{2}}{16} - \tfrac{58}{16}.
Agrupando:
I\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = -\dfrac{3\pi^{2} + 58}{16}.

Resposta

I(x)=\tfrac{1}{2}x^{3}\sin(2x) + \tfrac{3}{4}x^{2}\cos(2x) - \tfrac{3}{4}x\sin(2x) - \tfrac{3}{8}\cos(2x) - 4\n I\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\dfrac{3\pi^{2}+58}{16}

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