(Tianguá-UECE) Considerando \mathrm{a}, \mathrm{b} e c números reais não nulos que formam, nesta ordem, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, pode-se afirmar corretamente que
(a) a=b e b \neq c
(b) \mathbf{b}=\mathbf{c} e \mathbf{c} \neq \mathbf{a}
(c) c=a e a \neq b
(d) \mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do próprio enunciado):
  • a, b e c são números reais não nulos.
  • Na ordem dada ( a,b,c) eles formam uma progressão aritmética e também uma progressão geométrica.
  • O enunciado pede que se escolha qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é correta.
Informações matemáticas diretas extraídas do enunciado (essas são as relações que caracterizam AP e GP para três termos):
  • Como estão em progressão aritmética, vale
2b=a+c.
  • Como estão em progressão geométrica, vale
b^{2}=ac.

Passo 2

Explicando as fórmulas que usei (mini-aula):
  • Progressão aritmética de três termos significa que o termo do meio é a média aritmética dos vizinhos. Por isso escrevemos 2b=a+c. Aqui a,b,c são os três termos, não nulos.
  • Progressão geométrica de três termos significa que o termo do meio é a média geométrica dos vizinhos; isso dá b^{2}=ac. Novamente, a,b,c são os termos e o fato de serem não nulos evita problemas com produto zero ou divisão por zero.

Passo 3

Vamos usar as duas equações juntas para obter relações entre a, b e c.
Da relação da AP temos explicitamente
c=2b-a.
Substituo essa expressão de c na relação da GP b^{2}=ac. Assim:
b^{2}=a(2b-a).

Passo 4

Desenvolvendo a equação obtida:
b^{2}=2ab-a^{2}.
Trago tudo para um lado:
a^{2}-2ab+b^{2}=0.
Reconhece-se o quadrado perfeito:
(a-b)^{2}=0.

Passo 5

Da igualdade (a-b)^{2}=0 segue que
a-b=0\quad\Rightarrow\quad a=b.
Com a=b uso novamente a relação da AP 2b=a+c. Substituindo a=b obtemos:
2b=b+c\quad\Rightarrow\quad c=b.
Portanto a=b=c. Como o enunciado exige que sejam não nulos, existe a solução com todos iguais e não nulos; não há outra possibilidade real diferente desta (a dedução levou a igualdade forçada).

Passo 6

Interpretação final: a única configuração que satisfaz simultaneamente as duas condições (AP e GP) para três reais não nulos é que os três termos sejam iguais entre si. Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d)

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