(Tianguá-UECE) Considerando
e c números reais não nulos que formam, nesta ordem, uma progressão aritmética e uma progressão geométrica, pode-se afirmar corretamente que
(a)
e
(b)
e
(c)
e
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do próprio enunciado):
-
, e são números reais não nulos. - Na ordem dada (
) eles formam uma progressão aritmética e também uma progressão geométrica. - O enunciado pede que se escolha qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é correta.
Informações matemáticas diretas extraídas do enunciado (essas são as relações que caracterizam AP e GP para três termos):
- Como estão em progressão aritmética, vale
- Como estão em progressão geométrica, vale
Passo 2
Explicando as fórmulas que usei (mini-aula):
- Progressão aritmética de três termos significa que o termo do meio é a média aritmética dos vizinhos. Por isso escrevemos
. Aqui são os três termos, não nulos. - Progressão geométrica de três termos significa que o termo do meio é a média geométrica dos vizinhos; isso dá
. Novamente, são os termos e o fato de serem não nulos evita problemas com produto zero ou divisão por zero.
Passo 3
Vamos usar as duas equações juntas para obter relações entre
,
e
.
Da relação da AP temos explicitamente
Substituo essa expressão de
na relação da GP
. Assim:
Passo 4
Desenvolvendo a equação obtida:
Trago tudo para um lado:
Reconhece-se o quadrado perfeito:
Passo 5
Da igualdade
segue que
Com
uso novamente a relação da AP
. Substituindo
obtemos:
Portanto
. Como o enunciado exige que sejam não nulos, existe a solução com todos iguais e não nulos; não há outra possibilidade real diferente desta (a dedução levou a igualdade forçada).
Passo 6
Interpretação final: a única configuração que satisfaz simultaneamente as duas condições (AP e GP) para três reais não nulos é que os três termos sejam iguais entre si. Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)