(Mackenzie) As raízes da equação x^{3}+\alpha x^{2}+\beta x+\gamma=0 estão em progressão geométrica, onde \alpha, \beta e \gamma são números reais não nulos. Então é sempre correta a igualdade:
(a) \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{3}=\gamma
(b) \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^{2}=\gamma
(c) \frac{\beta^{3}}{\alpha}=\gamma^{3}
(d) (\beta \cdot \alpha)^{3}=\gamma^{3}
(e) (\beta \cdot \alpha \cdot \gamma)^{3}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação x^{3}+\alpha x^{2}+\beta x+\gamma=0 com \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R} e não nulos, e afirma que as raízes estão em progressão geométrica. A pergunta é: qual das igualdades listadas é sempre correta?
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é monica (coeficiente do x^3 igual a 1).
  • As três raízes estão em progressão geométrica (ou seja, têm uma razão comum).
  • Os coeficientes \alpha,\beta,\gamma são números reais não nulos.
O que se pede:
  • Determinar qual das alternativas (a) a (e) é sempre verdadeira dadas essas condições.

Passo 2

Escolher uma parametrização conveniente das raízes em progressão geométrica.
Se três números estão em progressão geométrica e são todos não nulos, uma parametrização simétrica e útil é tomar as raízes como
r_1=\frac{a}{r},\qquad r_2=a,\qquad r_3=ar,
onde a\neq 0 e r\neq 0. Essa escolha cobre qualquer tripla em PG (bastando renomear) e tem a vantagem de fazer o produto simples: r_1r_2r_3=a^3.
Agora vamos usar as fórmulas de Viète para um polinômio monico cúbico.

Passo 3

Apresentar as fórmulas de Viète e aplicá-las. Para o polinômio
x^{3}+\alpha x^{2}+\beta x+\gamma=0
com raízes r_1,r_2,r_3, as relações de Viète são:
r_1+r_2+r_3 = -\alpha,
r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 = \beta,
r_1r_2r_3 = -\gamma.
Agora substituo as raízes parametrizadas r_1=\dfrac{a}{r}, r_2=a, r_3=ar.
Calcular a soma:
r_1+r_2+r_3 = a\!\left(\frac{1}{r}+1+r\right).
Chamo S=\dfrac{1}{r}+1+r para simplificar a escrita. Então
r_1+r_2+r_3 = aS = -\alpha.
Calcular a soma dos produtos dois a dois:
r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3 = a^2\!\left(\frac{1}{r}+1+r\right) = a^2 S = \beta.
Calcular o produto:
r_1r_2r_3 = \frac{a}{r}\cdot a\cdot ar = a^3 = -\gamma.
Então temos, de forma clara,
\alpha = -aS,\qquad \beta = a^2 S,\qquad \gamma = -a^3,
onde S=\dfrac{1}{r}+1+r e a\neq 0.

Passo 4

Agora vamos manipular \dfrac{\beta}{\alpha}. Usando as expressões obtidas:
\frac{\beta}{\alpha}=\frac{a^2 S}{-a S} = -a.
É importante notar que a quantidade S cancela (desde que S\neq 0; se S=0 então \alpha=\beta=0, mas o enunciado disse que \alpha e \beta são não nulos, logo S\neq 0 e a divisão é válida).

Passo 5

Elevar \dfrac{\beta}{\alpha} ao cubo:
\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^3 = (-a)^3 = -a^3.
Mas da relação do produto das raízes encontramos que \gamma = -a^3. Portanto
\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^3 = \gamma.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida por exemplo numérico (para ganhar confiança):
  • Tomando, por exemplo, a=1 e r=2 as raízes são \tfrac{1}{2},1,2.
  • Então S=\tfrac{1}{2}+1+2=\tfrac{7}{2}.
  • Assim \alpha = -aS = -\tfrac{7}{2}, \beta = a^2 S = \tfrac{7}{2}, \gamma = -a^3 = -1.
  • Calculando \left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^3 = \left(\dfrac{7/2}{-7/2}\right)^3 = (-1)^3 = -1 = \gamma, confirmando a igualdade.

Resposta

(a)

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