(Mackenzie) As raízes da equação
estão em progressão geométrica, onde
e
são números reais não nulos. Então é sempre correta a igualdade:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a equação
com
e não nulos, e afirma que as raízes estão em progressão geométrica. A pergunta é: qual das igualdades listadas é sempre correta?
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é monica (coeficiente do
igual a ). - As três raízes estão em progressão geométrica (ou seja, têm uma razão comum).
- Os coeficientes
são números reais não nulos.
O que se pede:
- Determinar qual das alternativas
a é sempre verdadeira dadas essas condições.
Passo 2
Escolher uma parametrização conveniente das raízes em progressão geométrica.
Se três números estão em progressão geométrica e são todos não nulos, uma parametrização simétrica e útil é tomar as raízes como
onde
e
. Essa escolha cobre qualquer tripla em PG (bastando renomear) e tem a vantagem de fazer o produto simples:
.
Agora vamos usar as fórmulas de Viète para um polinômio monico cúbico.
Passo 3
Apresentar as fórmulas de Viète e aplicá-las. Para o polinômio
com raízes
, as relações de Viète são:
Agora substituo as raízes parametrizadas
.
Calcular a soma:
Chamo
para simplificar a escrita. Então
Calcular a soma dos produtos dois a dois:
Calcular o produto:
Então temos, de forma clara,
onde
e
.
Passo 4
Agora vamos manipular
. Usando as expressões obtidas:
É importante notar que a quantidade
cancela (desde que
; se
então
, mas o enunciado disse que
e
são não nulos, logo
e a divisão é válida).
Passo 5
Elevar
ao cubo:
Mas da relação do produto das raízes encontramos que
. Portanto
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida por exemplo numérico (para ganhar confiança):
- Tomando, por exemplo,
e as raízes são . - Então
. - Assim
, , . - Calculando
, confirmando a igualdade.
Resposta
(a)