(Sobral-UECE) Se
é um ângulo cuja medida está entre
e
, então, o resultado da soma infinita
é igual a
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá:
- Um ângulo
com . - A soma infinita
- As alternativas:
(a)
(b)
(c)
(d).
O que se pede: calcular o valor dessa soma infinita e identificar qual alternativa corresponde a ele.
Passo 2
Identificar o tipo de soma. A soma é uma série geométrica cujo termo geral pode ser escrito como
para
. Ou seja,
Numa série geométrica infinita os termos têm a forma
(com
começando em
) e
é a razão comum. Aqui a razão comum é
Passo 3
Lembrar a fórmula e a condição de convergência da série geométrica infinita. Para um número real
com
,
Rápida justificativa (útil para a prova): a soma parcial até
é
(se
); se
então
quando
, logo
.
Passo 4
Verificar a condição
no nosso caso. Como
temos
portanto
Assim
, e a fórmula da série geométrica é aplicável.
Passo 5
Aplicar a fórmula com
:
Usar a identidade pitagórica
para simplificar o denominador:
Portanto
Passo 6
Reconhecer a notação: por definição
, então
Também vale a identidade
, caso queira conferir numericamente. Por exemplo, se
então
e a soma é
, que é igual a
.
Passo 7
Conclusão: a soma infinita vale
, que corresponde à alternativa (c). Vai dar tudo certo na prova — lembra desse truque: reconhecer séries geométricas e usar
.
Resposta
(c)