(Sobral-UECE) Se \alpha é um ângulo cuja medida está entre 10^{\circ} e 90^{\circ}, então, o resultado da soma infinita 1+\operatorname{sen}^{2}(\alpha)+\operatorname{sen}^{4}(\alpha)+\operatorname{sen}^{6}(\alpha)+\cdots é igual a
(a) \cos ^{2}(\alpha)
(b) \operatorname{tg}^{2}(\alpha)
(c) \operatorname{sec} ^{2}(\alpha)
(d) \operatorname{cotg}^{2}(\alpha)

Passo 1

O enunciado dá:
  • Um ângulo \alpha com 10^{\circ}<\alpha<90^{\circ}.
  • A soma infinita
1+\operatorname{sen}^{2}(\alpha)+\operatorname{sen}^{4}(\alpha)+\operatorname{sen}^{6}(\alpha)+\cdots.
  • As alternativas:
    (a) \cos^{2}(\alpha)
    (b) \operatorname{tg}^{2}(\alpha)
    (c) \operatorname{sec}^{2}(\alpha)
    (d) \operatorname{cotg}^{2}(\alpha).
O que se pede: calcular o valor dessa soma infinita e identificar qual alternativa corresponde a ele.

Passo 2

Identificar o tipo de soma. A soma é uma série geométrica cujo termo geral pode ser escrito como \operatorname{sen}^{2k}(\alpha) para k=0,1,2,\dots. Ou seja,
\sum_{k=0}^{\infty} \operatorname{sen}^{2k}(\alpha).
Numa série geométrica infinita os termos têm a forma r^{k} (com k começando em 0) e r é a razão comum. Aqui a razão comum é
r=\operatorname{sen}^{2}(\alpha).

Passo 3

Lembrar a fórmula e a condição de convergência da série geométrica infinita. Para um número real r com |r|<1,
\sum_{k=0}^{\infty} r^{k}=\frac{1}{1-r}.
Rápida justificativa (útil para a prova): a soma parcial até n é
S_{n}=\sum_{k=0}^{n} r^{k}=1+r+\cdots+r^{n}=\frac{1-r^{\,n+1}}{1-r}
(se r\neq1); se |r|<1 então r^{\,n+1}\to0 quando n\to\infty, logo S_{n}\to\dfrac{1}{1-r}.

Passo 4

Verificar a condição |r|<1 no nosso caso. Como 10^{\circ}<\alpha<90^{\circ} temos
0<\operatorname{sen}(\alpha)<1,
portanto
0<\operatorname{sen}^{2}(\alpha)<1.
Assim |r|= \operatorname{sen}^{2}(\alpha)<1, e a fórmula da série geométrica é aplicável.

Passo 5

Aplicar a fórmula com r=\operatorname{sen}^{2}(\alpha):
\sum_{k=0}^{\infty} \operatorname{sen}^{2k}(\alpha)=\frac{1}{1-\operatorname{sen}^{2}(\alpha)}.
Usar a identidade pitagórica \operatorname{sen}^{2}(\alpha)+\cos^{2}(\alpha)=1 para simplificar o denominador:
1-\operatorname{sen}^{2}(\alpha)=\cos^{2}(\alpha).
Portanto
\frac{1}{1-\operatorname{sen}^{2}(\alpha)}=\frac{1}{\cos^{2}(\alpha)}.

Passo 6

Reconhecer a notação: por definição \operatorname{sec}(\alpha)=\dfrac{1}{\cos(\alpha)}, então
\frac{1}{\cos^{2}(\alpha)}=\operatorname{sec}^{2}(\alpha).
Também vale a identidade \operatorname{sec}^{2}(\alpha)=1+\operatorname{tg}^{2}(\alpha), caso queira conferir numericamente. Por exemplo, se \alpha=30^{\circ} então \operatorname{sen}^{2}(\alpha)=\tfrac{1}{4} e a soma é \dfrac{1}{1-1/4}=\tfrac{4}{3}, que é igual a \operatorname{sec}^{2}(30^{\circ}).

Passo 7

Conclusão: a soma infinita vale \operatorname{sec}^{2}(\alpha), que corresponde à alternativa (c). Vai dar tudo certo na prova — lembra desse truque: reconhecer séries geométricas e usar \sin^{2}+\cos^{2}=1.

Resposta

(c) \operatorname{sec}^{2}(\alpha)

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