Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,-3,0),(-2,0,3)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(2,-1,-1)\}. Se a_{22}=9, calcule a matrix A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{31} :
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4
Passo 1
O enunciado pede que encontremos a entrada a_{31} de uma matriz A_{3\times3} sujeita a três informações:
e a condição adicional \;a_{22}=9.
Queremos, portanto, usar essas informações para determinar a matriz A (ou pelo menos a sua entrada a_{31}).
Passo 2
Observação sobre dimensões: como o núcleo é gerado por duas vetores independentes, a dimensão do núcleo é 2. Pelo teorema do posto-nulidade numa matriz 3\times3,
Como \operatorname{nullity}(A)=2, temos \operatorname{rank}(A)=1. Isso casa com a imagem sendo gerada por um único vetor: a imagem tem dimensão 1.
Passo 3
Estrutura de uma matriz de posto 1: quando \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{w\} com w\neq0, todas as colunas de A são múltiplos escalares de w. Ou seja, existem escalares c_1,c_2,c_3 tais que a coluna j de A é c_j w. Escrevendo w como vetor coluna e c=(c_1,c_2,c_3)^T, obtemos a forma
A = w\,c^T.
No nosso caso, tomo
w = (2,-1,-1)^T.
Passo 4
Caracterização do núcleo em termos de c: para qualquer x\in\mathbb{R}^3,
A x = w (c^T x).
Como w\neq0, temos A x=0 se, e somente se, c^T x=0. Logo o núcleo de A é exatamente o subespaço ortogonal a c:
\operatorname{Ker}(A)=\{x\in\mathbb{R}^3 \mid c^T x = 0\}.
Portanto, o vetor c deve ser ortogonal aos dois vetores que geram o núcleo: c\cdot(-3,-3,0)=0 e c\cdot(-2,0,3)=0. Assim c é determinado à multiplicação escalar por ser um vetor normal ao plano gerado pelos dois vetores do núcleo.
Passo 5
Encontrando c como vetor ortogonal aos geradores do núcleo. Seja
v_1 = (-3,-3,0),\qquad v_2 = (-2,0,3).
Um vetor ortogonal a ambos é dado pelo produto vetorial v_1\times v_2. Calculo componente a componente (usando a fórmula)
Qualquer múltiplo escalar t\,c_0 também funciona, pois o núcleo depende apenas da direção de c.
Passo 6
Usando a condição a_{22}=9 para determinar o fator escalar. Temos c = t\,c_0 = t(-9,9,-6) para algum escalar t. Com A=w c^T as entradas são a_{ij}=w_i c_j. Em particular,