Q5: A_{3 \times 3} é tal que Núcleo A=\operatorname{span}\{(-3,-3,0),(-2,0,3)\} e Imagem A=\operatorname{span}\{(2,-1,-1)\}. Se a_{22}=9, calcule a matrix A. Assinale abaixo o valor da entrada a_{31} :
(A) -11
(B) -10
(C) -9
(D) -8
(E) -7
(F) -6
(G) -5
(H) -4

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a entrada a_{31} de uma matriz A_{3\times3} sujeita a três informações:
\text{Núcleo }A=\operatorname{span}\{(-3,-3,0),(-2,0,3)\},ú
\text{Imagem }A=\operatorname{span}\{(2,-1,-1)\},
e a condição adicional \;a_{22}=9.
Queremos, portanto, usar essas informações para determinar a matriz A (ou pelo menos a sua entrada a_{31}).

Passo 2

Observação sobre dimensões: como o núcleo é gerado por duas vetores independentes, a dimensão do núcleo é 2. Pelo teorema do posto-nulidade numa matriz 3\times3,
\operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=3.
Como \operatorname{nullity}(A)=2, temos \operatorname{rank}(A)=1. Isso casa com a imagem sendo gerada por um único vetor: a imagem tem dimensão 1.

Passo 3

Estrutura de uma matriz de posto 1: quando \operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{w\} com w\neq0, todas as colunas de A são múltiplos escalares de w. Ou seja, existem escalares c_1,c_2,c_3 tais que a coluna j de A é c_j w. Escrevendo w como vetor coluna e c=(c_1,c_2,c_3)^T, obtemos a forma
A = w\,c^T.
No nosso caso, tomo
w = (2,-1,-1)^T.

Passo 4

Caracterização do núcleo em termos de c: para qualquer x\in\mathbb{R}^3,
A x = w (c^T x).
Como w\neq0, temos A x=0 se, e somente se, c^T x=0. Logo o núcleo de A é exatamente o subespaço ortogonal a c:
\operatorname{Ker}(A)=\{x\in\mathbb{R}^3 \mid c^T x = 0\}.
Portanto, o vetor c deve ser ortogonal aos dois vetores que geram o núcleo: c\cdot(-3,-3,0)=0 e c\cdot(-2,0,3)=0. Assim c é determinado à multiplicação escalar por ser um vetor normal ao plano gerado pelos dois vetores do núcleo.

Passo 5

Encontrando c como vetor ortogonal aos geradores do núcleo. Seja
v_1 = (-3,-3,0),\qquad v_2 = (-2,0,3).
Um vetor ortogonal a ambos é dado pelo produto vetorial v_1\times v_2. Calculo componente a componente (usando a fórmula)
v_1\times v_2 = \big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big)
com a=v_1 e b=v_2. Substituindo:
\begin{aligned} c_1 &= (-3)\cdot 3 - 0\cdot 0 = -9,\\\ c_2 &= 0\cdot(-2) - (-3)\cdot 3 = 9,\\\ c_3 &= (-3)\cdot 0 - (-3)\cdot(-2) = -6. \end{aligned}
Portanto um representante para c é
c_0 = (-9,\,9,\,-6)^T.
Qualquer múltiplo escalar t\,c_0 também funciona, pois o núcleo depende apenas da direção de c.

Passo 6

Usando a condição a_{22}=9 para determinar o fator escalar. Temos c = t\,c_0 = t(-9,9,-6) para algum escalar t. Com A=w c^T as entradas são a_{ij}=w_i c_j. Em particular,
a_{22} = w_2 c_2.
Como w_2 = -1 e c_2 = t\cdot 9, obtemos
a_{22} = (-1)\cdot (9t) = -9t.
A condição do enunciado diz que a_{22}=9. Assim
-9t = 9 \quad\Rightarrow\quad t = -1.

Passo 7

Com t=-1 obtemos
c = -1\cdot(-9,9,-6) = (9,-9,6).
Logo a matriz A é
A = w\,c^T = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}9 & -9 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 9 & 2\cdot(-9) & 2\cdot 6\\[4pt] -1\cdot 9 & -1\cdot(-9) & -1\cdot 6\\[4pt] -1\cdot 9 & -1\cdot(-9) & -1\cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -18 & 12\\[4pt] -9 & 9 & -6\\[4pt] -9 & 9 & -6 \end{pmatrix}.
Verifique rapidinho: a entrada a_{22} é 9, compatível com o enunciado, e a imagem é gerada por w.]

Passo 8

Agora extraio a entrada pedida: \;a_{31} é o elemento da terceira linha e primeira coluna de A. Da matriz acima,
a_{31} = -9.

Resposta

(C)

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