•Domínio: vetores \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr) em \mathbb{R}^{4}.
•Contradomínio: vetores em \mathbb{R}^{3}.
•A regra de T está dada coordenada a coordenada (coeficientes lineares em x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
•Pergunta a responder: qual é a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\text{Im }T)).
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Passo 2
Ideia do método (explicação didática): a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas da matriz que representa T. A dimensão da imagem é o posto (rank) dessa matriz. Vou escrever a matriz A de T (linhas correspondem às coordenadas da imagem, colunas às variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e calcular seu posto por eliminação de Gauss, passo a passo e explicando cada operação simples que faço.
Passo 3
Matriz associada A (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
Explicação: a primeira linha vem de x_{1}-x_{2}-2x_{3}-2x_{4}, a segunda de x_{1}-2x_{2}-3x_{3}-3x_{4} e a terceira de -x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4}.]
Passo 4
Começo a eliminação de Gauss para encontrar pivôs (vou mostrar cada operação e o motivo: eliminar entradas abaixo do pivô para encontrar linhas independentes).
Usando R_{1} como pivô de coluna 1, faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1} para zerar as entradas na coluna 1 abaixo do pivô:
Agora eliminamos a entrada -2 na coluna 2 da terceira linha e o -1 na coluna 2 da primeira linha. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2} e R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2}:
Em seguida eliminamos as entradas não nulas nas colunas já pivotadas acima da linha 3: R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3} (para zerar -1 em posição (1,3)) e R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3} (para zerar 1 em posição (2,3)). Resultado:
Interpretação do resultado: a matriz está em forma escalonada com pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Temos três linhas não-nulas independentes, ou seja, existem três pivôs. Pelo processo de eliminação encontramos três pivôs, então o posto da matriz é 3. Em notação:
\mathrm{rank}(A)=3.
Lembre-se: a dimensão da imagem de T é exatamente o posto da matriz que representa T, portanto \dim(\mathrm{Im}\,T)=\mathrm{rank}(A)=3. Observação extra intuitiva: não é possível ter dimensão da imagem maior que 3 porque o contradomínio é \mathbb{R}^{3}.