Q4: Seja T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}-x_{2}-2 x_{3}-2 x_{4}\right., \left.x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3}-3 x_{4}, \quad-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}+x_{4}\right).
A dimensão da imagem de T é:
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão da imagem da transformação linear T dada por
T\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\bigl(x_{1}-x_{2}-2x_{3}-2x_{4},\;x_{1}-2x_{2}-3x_{3}-3x_{4},\;-x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: vetores \bigl(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\bigr) em \mathbb{R}^{4}.
  • Contradomínio: vetores em \mathbb{R}^{3}.
  • A regra de T está dada coordenada a coordenada (coeficientes lineares em x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}).
  • Pergunta a responder: qual é a dimensão da imagem de T (ou seja, \dim(\text{Im }T)).
]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): a imagem de T é o espaço gerado pelas colunas da matriz que representa T. A dimensão da imagem é o posto (rank) dessa matriz. Vou escrever a matriz A de T (linhas correspondem às coordenadas da imagem, colunas às variáveis x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) e calcular seu posto por eliminação de Gauss, passo a passo e explicando cada operação simples que faço.

Passo 3

Matriz associada A (peguei os coeficientes diretamente do enunciado):
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -2\\[4pt] 1 & -2 & -3 & -3\\[4pt] -1 & -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação: a primeira linha vem de x_{1}-x_{2}-2x_{3}-2x_{4}, a segunda de x_{1}-2x_{2}-3x_{3}-3x_{4} e a terceira de -x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4}.]

Passo 4

Começo a eliminação de Gauss para encontrar pivôs (vou mostrar cada operação e o motivo: eliminar entradas abaixo do pivô para encontrar linhas independentes).
Usando R_{1} como pivô de coluna 1, faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1} para zerar as entradas na coluna 1 abaixo do pivô:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Explanação: R_{2}-R_{1} substitui a segunda linha e elimina o 1 da coluna 1; R_{3}+R_{1} elimina o -1 da coluna 1 da terceira linha.]

Passo 5

Torno o pivô da segunda linha mais simples multiplicando por -1: R_{2}\leftarrow -R_{2}, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Agora eliminamos a entrada -2 na coluna 2 da terceira linha e o -1 na coluna 2 da primeira linha. Faço R_{3}\leftarrow R_{3}+2R_{2} e R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2}:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Explicação: essas operações usam a segunda linha (pivô em coluna 2) para zerar acima e abaixo dele.]

Passo 6

Agora a terceira linha tem 2 na coluna 3; fazemos o pivô aí. Divido a terceira linha por 2: R_{3}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{3}, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.
Em seguida eliminamos as entradas não nulas nas colunas já pivotadas acima da linha 3: R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{3} (para zerar -1 em posição (1,3)) e R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{3} (para zerar 1 em posição (2,3)). Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & \tfrac{1}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação do resultado: a matriz está em forma escalonada com pivôs nas colunas 1, 2 e 3. Temos três linhas não-nulas independentes, ou seja, existem três pivôs. Pelo processo de eliminação encontramos três pivôs, então o posto da matriz é 3. Em notação:
\mathrm{rank}(A)=3.
Lembre-se: a dimensão da imagem de T é exatamente o posto da matriz que representa T, portanto \dim(\mathrm{Im}\,T)=\mathrm{rank}(A)=3. Observação extra intuitiva: não é possível ter dimensão da imagem maior que 3 porque o contradomínio é \mathbb{R}^{3}.

Resposta

(D) 3

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