Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfax: T(1,2)=(-1,1,-3) e T(1,1)=(1,2,3).
Determine a matrix A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e informa dois valores:
T(1,2)=(-1,1,-3),
T(1,1)=(1,2,3).
Pede para determinar uma matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, quer o valor da entrada a_{12} (primeira linha, segunda coluna) dessa matriz.
Informações relevantes reunidas: as duas imagens dadas de vetores em \mathbb{R}^2 e a necessidade de encontrar a matriz A 3×2 correspondente.

Passo 2

Ideia-chave (muito usada em prova): se escrevermos a matriz A pela sua coluna por coluna, ela tem a forma
A=\begin{pmatrix} \;v_1\; & \;v_2\; \end{pmatrix},
onde v_1=T(1,0) e v_2=T(0,1) são vetores em \mathbb{R}^3. Então, para qualquer (x,y),
T(x,y)=x\,v_1 + y\,v_2.
Aqui v_1 e v_2 são as colunas de A. Vou chamar
v_1=\begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}d\e\f\end{pmatrix},
ou seja, A=\begin{pmatrix}a & d\\\ b & e\\\ c & f\end{pmatrix}. O objetivo é encontrar a,b,c,d,e,f a partir das informações dadas.

Passo 3

Use as igualdades fornecidas para montar equações em v_1 e v_2.
Da linearidade e da definição das colunas temos:
T(1,2)=v_1 + 2v_2 = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{pmatrix},
T(1,1)=v_1 + v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Essas são duas equações vetoriais em \mathbb{R}^3.]

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos v_2 diretamente:
v_1+2v_2 - (v_1+v_2) = v_2 = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente:
\begin{pmatrix}-1-1\\[4pt]1-2\\[4pt]-3-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]-6\end{pmatrix}.
Portanto
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora ache v_1 usando v_1+v_2=(1,2,3). Isolando v_1:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix} - v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\[4pt]-1\\[4pt]-6\end{pmatrix}.
Calcule componente a componente:
\begin{pmatrix}1-(-2)\\[4pt]2-(-1)\\[4pt]3-(-6)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]3\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Logo
v_1=\begin{pmatrix}3\\[4pt]3\\[4pt]9\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora montamos a matriz A cujas colunas são v_1 e v_2:
A = \begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]3 & -1\\[4pt]9 & -6\end{pmatrix}.
Nessa matriz, a entrada na primeira linha e segunda coluna (ou seja, a_{12}) é o número que aparece no canto superior direito da matriz acima.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): calcule A\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\end{bmatrix} e A\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\end{bmatrix} para checar se voltamos aos vetores dados:
A\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\end{bmatrix} = v_1 + 2v_2 = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{pmatrix},
A\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\end{bmatrix} = v_1 + v_2 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix},
confere com o enunciado, então A está correta.]

Resposta

(H) -2

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