Q3: Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação linear que satisfax: T(1,2)=(-1,1,-3) e T(1,1)=(1,2,3).
Determine a matrix A tal que T(x, y)=A\left[\begin{array}{l}x \\\ y\end{array}\right].
A entrada a_{12} da matriz A vale:
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} e informa dois valores:
T(1,2)=(-1,1,-3),
T(1,1)=(1,2,3).
Pede para determinar uma matriz A tal que
T(x,y)=A\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix},
e, em particular, quer o valor da entrada a_{12} (primeira linha, segunda coluna) dessa matriz.
Informações relevantes reunidas: as duas imagens dadas de vetores em \mathbb{R}^2 e a necessidade de encontrar a matriz A 3×2 correspondente.
Passo 2
Ideia-chave (muito usada em prova): se escrevermos a matriz A pela sua coluna por coluna, ela tem a forma
Agora montamos a matriz A cujas colunas são v_1 e v_2:
A = \begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt]3 & -1\\[4pt]9 & -6\end{pmatrix}.
Nessa matriz, a entrada na primeira linha e segunda coluna (ou seja, a_{12}) é o número que aparece no canto superior direito da matriz acima.]
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas dá segurança): calcule A\begin{bmatrix}1\\[2pt]2\end{bmatrix} e A\begin{bmatrix}1\\[2pt]1\end{bmatrix} para checar se voltamos aos vetores dados: