1. Um típico balão de ar quente tem um volume V. A densidade do ar, na temperatura ambiente vale \rho_{a}, enquanto que a densidade do ar quente no interior do balão vale \rho_{q}. Que peso o balão de ar quente pode levantar (contando o próprio balão) ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O volume do balão é V.
  • A densidade do ar à temperatura ambiente é \rho_{a}.
  • A densidade do ar quente dentro do balão é \rho_{q}.
    A pergunta é: qual o peso que o balão pode levantar, contando o próprio balão? (Ou seja: qual a força peso máxima que o empuxo pode sustentar, incluindo o peso do ar quente interno e de toda a estrutura do balão.)

Passo 2

Conceito que vamos usar: princípio de Arquimedes (empuxo).
  • O princípio de Arquimedes diz que um corpo imerso em um fluido recebe uma força vertical para cima chamada empuxo, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo.
  • Em fórmulas: se um corpo desloca um volume V de fluido com densidade \rho_{\text{fluido}}, então o empuxo é
E = V\,\rho_{\text{fluido}}\,g,
onde g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9{,}8\\ \text{m/s}^2).
Aqui o fluido deslocado é o ar ambiente, portanto \rho_{\text{fluido}}=\rho_{a}.

Passo 3

Calcular o empuxo que age no balão.
  • O empuxo para o balão é o peso do ar ambiente deslocado:
E = V\,\rho_{a}\,g.

Passo 4

Listar as forças que atuam para baixo (pesos) que o empuxo deve suportar.
  • O ar quente que está dentro do balão tem massa m_{q}=V\,\rho_{q} e, portanto, peso
P_{q} = m_{q}\,g = V\,\rho_{q}\,g.
  • Além desse peso do ar quente, existe o peso do envelope do balão mais o peso da carga (passageiros, estrutura, etc.). Se pedem “contando o próprio balão”, isso significa que o peso total a ser sustentado pelo empuxo inclui o peso do envelope e da carga; chamemos esse conjunto de P_{\text{outros}}. O empuxo disponível deve equilibrar P_{q}+P_{\text{outros}}.

Passo 5

Determinar o peso máximo que pode ser levantado (força).
  • O empuxo máximo disponível é E = V\,\rho_{a}\,g.
  • O empuxo sustenta o peso do ar quente mais o peso total levantado (envelope + carga). Assim, na condição de equilíbrio (máximo que pode ser sustentado),
V\,\rho_{a}\,g = V\,\rho_{q}\,g + P_{\text{lev}},
onde P_{\text{lev}} é o peso máximo que inclui o próprio balão e a carga.
  • Isolando P_{\text{lev}}:
P_{\text{lev}} = V\,\rho_{a}\,g - V\,\rho_{q}\,g.

Passo 6

Simplificar a expressão e interpretar.
  • Fatorando Vg:
P_{\text{lev}} = V\,g\,(\rho_{a} - \rho_{q}).
  • Interpretação: a diferença de densidades (\rho_{a}-\rho_{q}) determina a fração da massa de ar deslocado que fica disponível para carregar a estrutura e a carga. Quanto maior a diferença (ou maior o V), maior o peso que o balão pode levantar.
  • Se for desejado o valor em massa (quantas quilogramas pode sustentar, em vez de força), divide-se por g:
m_{\text{lev}} = V\,(\rho_{a}-\rho_{q}).

Resposta

P_{\text{lev}} = V\,g\,(\rho_{a}-\rho_{q})

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