- Um típico balão de ar quente tem um volume
. A densidade do ar, na temperatura ambiente vale
, enquanto que a densidade do ar quente no interior do balão vale
. Que peso o balão de ar quente pode levantar (contando o próprio balão) ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O volume do balão é
. - A densidade do ar à temperatura ambiente é
. - A densidade do ar quente dentro do balão é
.
A pergunta é: qual o peso que o balão pode levantar, contando o próprio balão? (Ou seja: qual a força peso máxima que o empuxo pode sustentar, incluindo o peso do ar quente interno e de toda a estrutura do balão.)
Passo 2
Conceito que vamos usar: princípio de Arquimedes (empuxo).
- O princípio de Arquimedes diz que um corpo imerso em um fluido recebe uma força vertical para cima chamada empuxo, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo.
- Em fórmulas: se um corpo desloca um volume
de fluido com densidade , então o empuxo é
onde
é a aceleração da gravidade (aproximadamente
).
Aqui o fluido deslocado é o ar ambiente, portanto .
Aqui o fluido deslocado é o ar ambiente, portanto
Passo 3
Calcular o empuxo que age no balão.
- O empuxo para o balão é o peso do ar ambiente deslocado:
Passo 4
Listar as forças que atuam para baixo (pesos) que o empuxo deve suportar.
- O ar quente que está dentro do balão tem massa
e, portanto, peso
- Além desse peso do ar quente, existe o peso do envelope do balão mais o peso da carga (passageiros, estrutura, etc.). Se pedem “contando o próprio balão”, isso significa que o peso total a ser sustentado pelo empuxo inclui o peso do envelope e da carga; chamemos esse conjunto de
. O empuxo disponível deve equilibrar .
Passo 5
Determinar o peso máximo que pode ser levantado (força).
- O empuxo máximo disponível é
. - O empuxo sustenta o peso do ar quente mais o peso total levantado (envelope + carga). Assim, na condição de equilíbrio (máximo que pode ser sustentado),
onde
é o peso máximo que inclui o próprio balão e a carga.
- Isolando
:
Passo 6
Simplificar a expressão e interpretar.
- Fatorando
:
- Interpretação: a diferença de densidades
determina a fração da massa de ar deslocado que fica disponível para carregar a estrutura e a carga. Quanto maior a diferença (ou maior o ), maior o peso que o balão pode levantar. - Se for desejado o valor em massa (quantas quilogramas pode sustentar, em vez de força), divide-se por
: