1. Ignorando a variação da temperatura e da composição atmosférica com a altitude, a pressão p e a massa específica \rho da atmosfera são proporcionais, isto é, \rho=C p, onde C é uma constante positiva. Determine o valor da presso (em unidades da presso atmosférica p_{0} ) a uma altura h.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
  • A pressão atmosférica é p que varia com a altura h.
  • A massa específica da atmosfera é \rho e satisfaz \rho=C\,p, onde C>0 é constante (a suposição diz que temperatura e composição não variam com a altitude, por isso C é constante).
  • A pressão ao nível de referência (por exemplo, h=0) é p_0.
  • A pergunta: determinar o valor de p a uma altura h, expressando esse valor em unidades de p_0 (ou seja, encontrar \dfrac{p(h)}{p_0} ou p(h) em função de p_0, C, g e h).

Passo 2

Vamos montar o equilíbrio de forças em uma lâmina atmosférica fina para obter a equação diferencial que relaciona p e h.
Considere uma pequena camada atmosférica de área A e espessura dh localizada à altura h.
  • A força para cima sobre a face inferior é p(h)\,A.
  • A força para cima sobre a face superior é p(h+dh)\,A.
    A diferença de forças (força líquida para cima) é
p(h)\,A - p(h+dh)\,A \approx -\frac{dp}{dh}\,dh\,A,
onde usamos a expansão em primeira ordem e definimos dp = p(h+dh)-p(h).
O peso da camada (força para baixo) é a massa da camada vezes g:
\text{peso} = \rho(h)\,A\,dh\;g.
No equilíbrio estático (nenhuma aceleração vertical), a soma das forças verticais é zero, logo a diferença de pressão equilibra o peso:
-\frac{dp}{dh}\,dh\,A = \rho(h)\,A\,dh\,g.
Cancelando A\,dh em ambos os lados obtém-se a equação diferencial fundamental da atmosfera em equilíbrio hidrostatico:
\frac{dp}{dh} = -\rho(h)\,g.

Passo 3

Agora substituímos a relação dada \rho=C\,p na equação de equilíbrio:
\frac{dp}{dh} = -\bigl(C\,p(h)\bigr)\,g = -C\,g\,p(h).
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e separável, para p(h).

Passo 4

Resolver a equação separando variáveis. Escrevemos
\frac{1}{p}\,dp = -C\,g\,dh.
Integramos ambos os lados. Como queremos relacionar p(h) com p_0 no nível h=0, usamos integrais definidas com os limites apropriados:
\int_{p_0}^{p(h)} \frac{1}{p}\,dp = -C\,g \int_{0}^{h} dh.
As integrais são elementares. A integral do lado esquerdo é \ln p (logaritmo natural) avaliado entre p_0 e p(h); a do lado direito é simplesmente -C g h. Portanto:
\ln\!\bigl(p(h)\bigr) - \ln\!\bigl(p_0\bigr) = -C\,g\,h.

Passo 5

Isolando p(h) através da exponenciação:
\ln\!\left(\frac{p(h)}{p_0}\right) = -C\,g\,h \quad\Rightarrow\quad \frac{p(h)}{p_0} = e^{-C\,g\,h}.
Assim, em unidades de p_0, a pressão à altura h é \dfrac{p(h)}{p_0}=e^{-C g h}. Em forma explícita:
p(h)=p_0\,e^{-C\,g\,h}.

Passo 6

Interpretação e forma alternativa (útil na prova):
  • Define-se a “altura de escala” H por
H=\frac{1}{C\,g},
então a expressão fica mais intuitiva:
\frac{p(h)}{p_0}=e^{-h/H}.
Significado físico: a cada aumento de altura de aproximadamente H, a pressão cai por um fator e.
Observação adicional (para ligar com o que talvez já tenha visto): se a atmosfera for ideal e isotérmica, então \rho = \dfrac{p}{R_s T} (onde R_s é a constante específica do ar e T a temperatura), daí C=\dfrac{1}{R_s T} e H=\dfrac{R_s T}{g}. Mas isso é só para contexto; a dedução acima usa apenas \rho=Cp dada no enunciado.

Resposta

\dfrac{p(h)}{p_0}=e^{-C\,g\,h}

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