- Ignorando a variação da temperatura e da composição atmosférica com a altitude, a pressão
e a massa específica
da atmosfera são proporcionais, isto é,
, onde
é uma constante positiva. Determine o valor da presso (em unidades da presso atmosférica
) a uma altura
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo de forma clara):
- A pressão atmosférica é
que varia com a altura . - A massa específica da atmosfera é
e satisfaz , onde é constante (a suposição diz que temperatura e composição não variam com a altitude, por isso é constante). - A pressão ao nível de referência (por exemplo,
) é . - A pergunta: determinar o valor de
a uma altura , expressando esse valor em unidades de (ou seja, encontrar ou em função de , , e ).
Passo 2
Vamos montar o equilíbrio de forças em uma lâmina atmosférica fina para obter a equação diferencial que relaciona
e
.
Considere uma pequena camada atmosférica de área
e espessura
localizada à altura
.
- A força para cima sobre a face inferior é
. - A força para cima sobre a face superior é
.
A diferença de forças (força líquida para cima) é
onde usamos a expansão em primeira ordem e definimos
.
O peso da camada (força para baixo) é a massa da camada vezes
:
No equilíbrio estático (nenhuma aceleração vertical), a soma das forças verticais é zero, logo a diferença de pressão equilibra o peso:
Cancelando
em ambos os lados obtém-se a equação diferencial fundamental da atmosfera em equilíbrio hidrostatico:
Passo 3
Agora substituímos a relação dada
na equação de equilíbrio:
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e separável, para
.
Passo 4
Resolver a equação separando variáveis. Escrevemos
Integramos ambos os lados. Como queremos relacionar
com
no nível
, usamos integrais definidas com os limites apropriados:
As integrais são elementares. A integral do lado esquerdo é
(logaritmo natural) avaliado entre
e
; a do lado direito é simplesmente
. Portanto:
Passo 5
Isolando
através da exponenciação:
Assim, em unidades de
, a pressão à altura
é
. Em forma explícita:
Passo 6
Interpretação e forma alternativa (útil na prova):
- Define-se a “altura de escala”
por
então a expressão fica mais intuitiva:
Significado físico: a cada aumento de altura de aproximadamente
, a pressão cai por um fator
.
Observação adicional (para ligar com o que talvez já tenha visto): se a atmosfera for ideal e isotérmica, então
(onde
é a constante específica do ar e
a temperatura), daí
e
. Mas isso é só para contexto; a dedução acima usa apenas
dada no enunciado.