- Para tomar limonada com massa específica igual a
aspirando com um canudo até uma altura
, qual o valor da pressão manométrica mínima que você deve produzir em seus pulmões ?
Passo 1
O enunciado pede: “Para tomar limonada com massa específica igual a
aspirando com um canudo até uma altura
, qual o valor da pressão manométrica mínima que você deve produzir em seus pulmões?”
Informações dadas:
- Massa específica do líquido:
. - Altura que o líquido precisa subir no canudo acima da superfície livre:
. - Há pressão atmosférica externa, que chamaremos de
(não foi dada numericamente, mas é necessária para a relação de equilíbrio).
O que se pede:
- A pressão manométrica mínima que os pulmões devem produzir. Aqui “pressão manométrica” significa a pressão relativa ao meio ambiente (ou seja,
), podendo ser negativa (sucção).
Passo 2
Conceito físico usado (explicado passo a passo): quando um líquido está em equilíbrio estático, a pressão varia com a profundidade/altura segundo a relação de equilíbrio hidrostático. Em palavras simples: quanto mais alto no líquido, menor a pressão; quanto mais baixo, maior a pressão, a uma taxa
por unidade de altura.
A fórmula básica que usamos é a seguinte (aqui está em forma isolada para ficar claro):
onde:
-
é a pressão em um ponto 1 do líquido, -
é a pressão em um ponto 2 do líquido, -
e são as alturas verticalmente (positivo para cima) desses pontos, -
é a massa específica do líquido, -
é a aceleração da gravidade.
Essa fórmula vem de integrar a equação diferencial
. Em termos práticos: subindo uma coluna de líquido de altura
a pressão diminui em
.
Passo 3
Aplicando ao problema: escolha dois pontos ao longo da mesma coluna de líquido no canudo/recipiente:
- Ponto 1: a superfície livre da limonada no copo (fora do canudo), onde a pressão é a pressão atmosférica
. - Ponto 2: a região no topo da coluna de líquido no canudo, junto à boca/pulmões, que está a uma altura
acima da superfície livre; a pressão aí é (pressão que os pulmões devem fazer).
A diferença de altura é
. Aplicando a fórmula:
Isso significa que, para manter uma coluna de altura
, a pressão dentro da boca/pulmões deve ser menor que a atmosférica em exatamente
.
Passo 4
Definição de pressão manométrica: pressão manométrica é a diferença entre a pressão absoluta no ponto considerado e a pressão atmosférica. Assim:
Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Interpretação: o valor é negativo, o que indica sucção. Em módulo, os pulmões têm de reduzir a pressão em pelo menos
em relação à atmosfera.
Exemplo numérico rápido para sentir a ordem de grandeza: considere
(água),
e
. Então
Passo 5
Observações práticas importantes (para a prova e para a vida real, muito úteis):
- O valor mínimo de manometria obtido acima é idealizado. O menor valor absoluto possível é limitado pela pressão atmosférica: se tentasse-se tornar
menor que zero absoluto isso é impossível; o limite prático (pressão absoluta zero) corresponderia a uma altura máxima
Para água com
, isso dá cerca de
. Ou seja, sem considerar vapor do líquido, não se consegue sorver água a mais de ~10 m de altura usando o vácuo do corpo humano.
- Além disso, se
cair abaixo da pressão de vapor do líquido ( ), o líquido vaporiza (cavitação) e a coluna se interrompe. Portanto, o limite real prático é menor e depende da temperatura do líquido. - Para limonada (densidade próxima à da água), os números e limites são aproximadamente os mesmos que para água.