1. Para tomar limonada com massa específica igual a \rho aspirando com um canudo até uma altura h, qual o valor da pressão manométrica mínima que você deve produzir em seus pulmões ?

Passo 1

O enunciado pede: “Para tomar limonada com massa específica igual a \rho aspirando com um canudo até uma altura h, qual o valor da pressão manométrica mínima que você deve produzir em seus pulmões?”
Informações dadas:
  • Massa específica do líquido: \rho.
  • Altura que o líquido precisa subir no canudo acima da superfície livre: h.
  • Há pressão atmosférica externa, que chamaremos de p_{\text{atm}} (não foi dada numericamente, mas é necessária para a relação de equilíbrio).
O que se pede:
  • A pressão manométrica mínima que os pulmões devem produzir. Aqui “pressão manométrica” significa a pressão relativa ao meio ambiente (ou seja, p_{\text{pulm}}-p_{\text{atm}}), podendo ser negativa (sucção).

Passo 2

Conceito físico usado (explicado passo a passo): quando um líquido está em equilíbrio estático, a pressão varia com a profundidade/altura segundo a relação de equilíbrio hidrostático. Em palavras simples: quanto mais alto no líquido, menor a pressão; quanto mais baixo, maior a pressão, a uma taxa \rho g por unidade de altura.
A fórmula básica que usamos é a seguinte (aqui está em forma isolada para ficar claro):
p_2 = p_1 - \rho g (z_2 - z_1)
onde:
  • p_1 é a pressão em um ponto 1 do líquido,
  • p_2 é a pressão em um ponto 2 do líquido,
  • z_1 e z_2 são as alturas verticalmente (positivo para cima) desses pontos,
  • \rho é a massa específica do líquido,
  • g é a aceleração da gravidade.
Essa fórmula vem de integrar a equação diferencial \dfrac{dp}{dz}=-\rho g. Em termos práticos: subindo uma coluna de líquido de altura \Delta z a pressão diminui em \rho g\Delta z.

Passo 3

Aplicando ao problema: escolha dois pontos ao longo da mesma coluna de líquido no canudo/recipiente:
  • Ponto 1: a superfície livre da limonada no copo (fora do canudo), onde a pressão é a pressão atmosférica p_1 = p_{\text{atm}}.
  • Ponto 2: a região no topo da coluna de líquido no canudo, junto à boca/pulmões, que está a uma altura h acima da superfície livre; a pressão aí é p_2 = p_{\text{pulm}} (pressão que os pulmões devem fazer).
A diferença de altura é z_2 - z_1 = h. Aplicando a fórmula:
p_{\text{pulm}} = p_{\text{atm}} - \rho g h.
Isso significa que, para manter uma coluna de altura h, a pressão dentro da boca/pulmões deve ser menor que a atmosférica em exatamente \rho g h.

Passo 4

Definição de pressão manométrica: pressão manométrica é a diferença entre a pressão absoluta no ponto considerado e a pressão atmosférica. Assim:
p_{\text{man}} = p_{\text{pulm}} - p_{\text{atm}}.
Substituindo a expressão de p_{\text{pulm}} do passo anterior:
p_{\text{man}} = \bigl(p_{\text{atm}} - \rho g h\bigr) - p_{\text{atm}} = -\rho g h.
Interpretação: o valor é negativo, o que indica sucção. Em módulo, os pulmões têm de reduzir a pressão em pelo menos \rho g h em relação à atmosfera.
Exemplo numérico rápido para sentir a ordem de grandeza: considere \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} (água), g=9,8\\ \mathrm{m/s^2} e h=1\\ \mathrm{m}. Então
p_{\text{man}} = - (1000)(9,8)(1) = -9800\\ \mathrm{Pa}\approx -9{,}8\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Observações práticas importantes (para a prova e para a vida real, muito úteis):
  • O valor mínimo de manometria obtido acima é idealizado. O menor valor absoluto possível é limitado pela pressão atmosférica: se tentasse-se tornar p_{\text{pulm}} menor que zero absoluto isso é impossível; o limite prático (pressão absoluta zero) corresponderia a uma altura máxima
h_{\max} = \dfrac{p_{\text{atm}}}{\rho g}.
Para água com p_{\text{atm}}\approx101325\\ \mathrm{Pa}, isso dá cerca de 10{,}3\\ \mathrm{m}. Ou seja, sem considerar vapor do líquido, não se consegue sorver água a mais de ~10 m de altura usando o vácuo do corpo humano.
  • Além disso, se p_{\text{pulm}} cair abaixo da pressão de vapor do líquido ( p_{\text{vapor}}), o líquido vaporiza (cavitação) e a coluna se interrompe. Portanto, o limite real prático é menor e depende da temperatura do líquido.
  • Para limonada (densidade próxima à da água), os números e limites são aproximadamente os mesmos que para água.

Resposta

-\rho g h

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