Um tipógrafo, em média, comete um erro a cada 500 palavras impressas. Uma página típica contém 300 palavras. Qual é a probabilidade de que não ocorra nenhum erro em cinco páginas?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Em média o tipógrafo comete 1 erro a cada
palavras. - Uma página típica contém
palavras. - Queremos a probabilidade de que não ocorra nenhum erro em
páginas.
Informações numéricas extraídas do enunciado:
- Probabilidade por palavra de erro (média):
. - Número de palavras em
páginas: .
O que o problema pede: calcular a probabilidade de zero erros ao imprimir essas
páginas.
Passo 2
Modelagem e escolha do método (explicação didática):
Quando temos muitos ensaios independentes (cada palavra pode gerar um erro ou não) com probabilidade pequena de sucesso (erro) e número grande de ensaios, é comum modelar o número total de ocorrências por uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é apropriada para “eventos raros” espalhados por uma grande quantidade de tentativas ou ao longo de um intervalo (aqui: ao longo de muitas palavras).
Breve aula sobre a distribuição de Poisson:
- A distribuição de Poisson tem um parâmetro
que representa o número médio de eventos num certo intervalo (aqui, o total médio de erros nas páginas). - A fórmula para a probabilidade de observar exatamente
eventos é
- Para
(nenhum erro) a fórmula simplifica para
Também é possível começar do modelo binomial: cada palavra é um ensaio com probabilidade
. Com
palavras a probabilidade de zero erros seria
Quando
é grande e
é pequeno com
moderado, vale a aproximação
ou seja, a aproximação binomial → Poisson com
.
Vou usar a modelagem Poisson porque é exatamente o caso clássico de eventos raros e torna o cálculo direto; é equivalente (em boa aproximação) ao cálculo binomial acima.
Passo 3
Calcular o parâmetro
(média de erros nas
páginas):
- Média de erros por página:
- Para
páginas, por soma de médias (ou somando Poissons independentes), a média total é
Portanto o número médio de erros nas
páginas é
.
Passo 4
Calcular a probabilidade de nenhum erro usando Poisson:
Usando a fórmula para
,
Se alguém preferir ver a versão binomial exata (mesma ideia, só que sem aproximar por Poisson):
e isso é numericamente muito próximo de
.
Passo 5
Avaliação numérica e interpretação:
- Valor exato (modelo Poisson):
Portanto a chance de não ocorrer nenhum erro nas cinco páginas é bem pequena, cerca de
. Força aí — é menos provável, mas agora você sabe calcular isso direto na prova!