Um tipógrafo, em média, comete um erro a cada 500 palavras impressas. Uma página típica contém 300 palavras. Qual é a probabilidade de que não ocorra nenhum erro em cinco páginas?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Em média o tipógrafo comete 1 erro a cada 500 palavras.
  • Uma página típica contém 300 palavras.
  • Queremos a probabilidade de que não ocorra nenhum erro em 5 páginas.
Informações numéricas extraídas do enunciado:
  • Probabilidade por palavra de erro (média): p=\dfrac{1}{500}.
  • Número de palavras em 5 páginas: n=5\cdot300=1500.
O que o problema pede: calcular a probabilidade de zero erros ao imprimir essas 5 páginas.

Passo 2

Modelagem e escolha do método (explicação didática):
Quando temos muitos ensaios independentes (cada palavra pode gerar um erro ou não) com probabilidade pequena de sucesso (erro) e número grande de ensaios, é comum modelar o número total de ocorrências por uma distribuição de Poisson. A distribuição de Poisson é apropriada para “eventos raros” espalhados por uma grande quantidade de tentativas ou ao longo de um intervalo (aqui: ao longo de muitas palavras).
Breve aula sobre a distribuição de Poisson:
  • A distribuição de Poisson tem um parâmetro \lambda que representa o número médio de eventos num certo intervalo (aqui, o total médio de erros nas 5 páginas).
  • A fórmula para a probabilidade de observar exatamente k eventos é
P(K=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}.
  • Para k=0 (nenhum erro) a fórmula simplifica para
P(K=0)=e^{-\lambda}.
Também é possível começar do modelo binomial: cada palavra é um ensaio com probabilidade p=\dfrac{1}{500}. Com n=1500 palavras a probabilidade de zero erros seria
(1-p)^n=\left(1-\dfrac{1}{500}\right)^{1500}.
Quando n é grande e p é pequeno com np moderado, vale a aproximação
\left(1-\dfrac{1}{500}\right)^{1500}\approx e^{-np},
ou seja, a aproximação binomial → Poisson com \lambda = np.
Vou usar a modelagem Poisson porque é exatamente o caso clássico de eventos raros e torna o cálculo direto; é equivalente (em boa aproximação) ao cálculo binomial acima.

Passo 3

Calcular o parâmetro \lambda (média de erros nas 5 páginas):
  • Média de erros por página:
\lambda_{\text{página}}=\dfrac{300}{500}=0,6.á
  • Para 5 páginas, por soma de médias (ou somando Poissons independentes), a média total é
\lambda = 5\cdot 0,6 = 3.
Portanto o número médio de erros nas 5 páginas é \lambda=3.

Passo 4

Calcular a probabilidade de nenhum erro usando Poisson:
Usando a fórmula para k=0,
P(\text{nenhum erro})=e^{-\lambda}=e^{-3}.
Se alguém preferir ver a versão binomial exata (mesma ideia, só que sem aproximar por Poisson):
P(\text{nenhum erro})=\left(1-\dfrac{1}{500}\right)^{1500}=\left(\dfrac{499}{500}\right)^{1500},
e isso é numericamente muito próximo de e^{-3}.

Passo 5

Avaliação numérica e interpretação:
  • Valor exato (modelo Poisson):
e^{-3}\approx 0,049787\quad(\text{aprox. }4{,}98\%).
Portanto a chance de não ocorrer nenhum erro nas cinco páginas é bem pequena, cerca de 5\%. Força aí — é menos provável, mas agora você sabe calcular isso direto na prova!

Resposta

e^{-3}\approx0,049787

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