A água escoa pelo tubo a uma velocidade média constante de
. Determine a relação entre o tempo necessário para encher o tanque a uma profundidade de h = 3 m e o diâmetro D do tubo em A . O tanque tem largura de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- velocidade média da água na tubulação:
. - profundidade que o tanque deve atingir:
. - largura do tanque:
. - diâmetro da tubulação em
: (incógnita; queremos a relação ).
- velocidade média da água na tubulação:
- O que se pede:
- determinar a relação entre o tempo necessário
para encher o tanque até a profundidade e o diâmetro da tubulação em .
- determinar a relação entre o tempo necessário
- Observação / pressuposto (importantíssimo): vou assumir que todo o caudal que sai do tubo entra no tanque (sem perdas, sem respingos) e que o tanque é prismático no sentido em que a largura
é a dimensão “no sentido do comprimento” do tanque; para evitar ambiguidade no comprimento perpendicular à figura, vou calcular o tempo por metro de comprimento do tanque (ou seja, assumo comprimento unitário no sentido perpendicular à largura). Se o tanque tiver comprimento total , multiplique o volume abaixo por e o tempo final por . - Peguei da imagem os valores geométricos que aparecem na figura (ângulos e distância), mas não serão necessários para este cálculo porque supomos que todo o fluxo entra no tanque.
Passo 2
Relação básica entre tempo, volume e vazão.
- Conceito: o tempo necessário para encher até um certo volume é o volume requerido dividido pela vazão volumétrica:
- Aqui:
-
é o tempo (s); -
é o volume de água necessário para elevar a profundidade do tanque até (m³); -
é a vazão volumétrica do fluido que sai do tubo (m³/s).
-
Passo 3
Expressão para a vazão
da tubulação.
- A seção transversal do tubo é circular com diâmetro
. A área da seção é
- Como a velocidade média no tubo é
, a vazão volumétrica é
- Explicando passo a passo: a área de um círculo de diâmetro
é , que simplifica para . A vazão é sempre velocidade média vezes área de seção.
Passo 4
Volume do tanque a ser preenchido (por metro de comprimento) e substituição.
- Volume por metro de comprimento (assumindo comprimento unitário
) para atingir profundidade :
- Substituindo
e (mantendo símbolo até o final):
- Agora usar
com :
- Simplificando a fração:
Passo 5
Substituir a velocidade dada
e obter a relação final em função de
.
- Substituindo
em :
- Unidades: como
está em metros, o resultado fica em segundos. - Podemos também dar uma aproximação numérica:
onde
em metros. Por exemplo, se
então
.