A água escoa pelo tubo a uma velocidade média constante de 0,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a relação entre o tempo necessário para encher o tanque a uma profundidade de h = 3 m e o diâmetro D do tubo em A . O tanque tem largura de 1,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade média da água na tubulação: v=0,5\\ \mathrm{m/s}.
    • profundidade que o tanque deve atingir: h=3\\ \mathrm{m}.
    • largura do tanque: W=1,5\\ \mathrm{m}.
    • diâmetro da tubulação em A: D (incógnita; queremos a relação t(D)).
  • O que se pede:
    • determinar a relação entre o tempo necessário t para encher o tanque até a profundidade h=3\\ \mathrm{m} e o diâmetro D da tubulação em A.
  • Observação / pressuposto (importantíssimo): vou assumir que todo o caudal que sai do tubo entra no tanque (sem perdas, sem respingos) e que o tanque é prismático no sentido em que a largura W é a dimensão “no sentido do comprimento” do tanque; para evitar ambiguidade no comprimento perpendicular à figura, vou calcular o tempo por metro de comprimento do tanque (ou seja, assumo comprimento unitário 1\\ \mathrm{m} no sentido perpendicular à largura). Se o tanque tiver comprimento total L, multiplique o volume abaixo por L e o tempo final por L.
  • Peguei da imagem os valores geométricos que aparecem na figura (ângulos e distância), mas não serão necessários para este cálculo porque supomos que todo o fluxo entra no tanque.

Passo 2

Relação básica entre tempo, volume e vazão.
  • Conceito: o tempo necessário para encher até um certo volume é o volume requerido dividido pela vazão volumétrica:
t=\frac{V}{Q}.
  • Aqui:
    • t é o tempo (s);
    • V é o volume de água necessário para elevar a profundidade do tanque até h (m³);
    • Q é a vazão volumétrica do fluido que sai do tubo (m³/s).

Passo 3

Expressão para a vazão Q da tubulação.
  • A seção transversal do tubo é circular com diâmetro D. A área da seção é
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Como a velocidade média no tubo é v, a vazão volumétrica é
Q=vA=v\frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Explicando passo a passo: a área de um círculo de diâmetro D é \pi (D/2)^{2}, que simplifica para \pi D^{2}/4. A vazão Q é sempre velocidade média vezes área de seção.

Passo 4

Volume do tanque a ser preenchido (por metro de comprimento) e substituição.
  • Volume por metro de comprimento (assumindo comprimento unitário 1\\ \mathrm{m}) para atingir profundidade h:
V = W\cdot h.
  • Substituindo W=1,5\\ \mathrm{m} e h=3\\ \mathrm{m} (mantendo símbolo até o final):
V = 1{,}5\cdot 3 = 4{,}5\\ \mathrm{m^{3}}\quad\text{(por metro de comprimento)}.
  • Agora usar t=V/Q com Q=v\pi D^{2}/4:
t=\frac{V}{Q}=\frac{4{,}5}{v\displaystyle\frac{\pi D^{2}}{4}}.
  • Simplificando a fração:
t=\frac{4{,}5\cdot 4}{v\pi D^{2}}=\frac{18}{v\pi D^{2}}.

Passo 5

Substituir a velocidade dada v=0{,}5\\ \mathrm{m/s} e obter a relação final em função de D.
  • Substituindo v=0{,}5 em \displaystyle t=\frac{18}{v\pi D^{2}}:
t=\frac{18}{0{,}5\,\pi D^{2}}=\frac{18}{\tfrac{1}{2}\pi D^{2}}=\frac{36}{\pi D^{2}}.
  • Unidades: como D está em metros, o resultado t fica em segundos.
  • Podemos também dar uma aproximação numérica:
t(D)\approx\frac{36}{\pi D^{2}}\\ \mathrm{s}\approx\frac{11{,}459}{D^{2}}\\ \mathrm{s},
onde D em metros. Por exemplo, se D=0{,}05\\ \mathrm{m} então t\approx \dfrac{36}{\pi (0{,}05)^{2}}\approx 4597\\ \mathrm{s}\approx 1{,}28\\ \mathrm{h}.

Resposta

t(D)=\frac{36}{\pi D^{2}}\\ \mathrm{s}.

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