09 - Determine a densidade, a densidade relativa e a massa de ar numa sala cujas dimensões são 4 \mathrm{~m} \times 5 \mathrm{~m} \times 6 \mathrm{~m}, a 100 kPa (abs) e 25^{\circ} \mathrm{C}. Dado: \rho_{\text {ÁGUA }}=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}Á.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Dimensões da sala: 4\\ \mathrm{m}\times5\\ \mathrm{m}\times6\\ \mathrm{m}.
    • Pressão absoluta do ar: p=100\\ \mathrm{kPa} (ou seja, 100\\\ 000\\ \mathrm{Pa}).
    • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
    • Densidade da água: \rho_{\text{ÁGUA}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}Á.
  • O enunciado pede:
    1. A densidade do ar na sala (ou seja, \rho_{\text{ar}} em \mathrm{kg/m^3}).
    2. A densidade relativa do ar (ou seja, a razão \rho_{\text{ar}}/\rho_{\text{ÁGUA}}Á, sem unidade).
    3. A massa de ar na sala (ou seja, m=\rho_{\text{ar}}\times V em \mathrm{kg}).

Passo 2

Primeiro converto unidades e calculo o volume da sala (coisas chatas, mas fundamentais).
  • Volume da sala:
V = 4\cdot5\cdot6 = 120\\ \mathrm{m^3}.
  • Pressão em unidade SI:
p = 100\\ \mathrm{kPa} = 100{,}000\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura em Kelvin (sempre usar Kelvin nas fórmulas termodinâmicas):
T = 25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Agora a ideia física: usar a equação dos gases perfeitos para relacionar pressão, temperatura e densidade.
  • A forma conveniente do gás perfeito para densidade é:
p = \rho R T,
onde:
  • p é a pressão absoluta (em \mathrm{Pa}),
  • \rho é a densidade do gás (em \mathrm{kg/m^3}),
  • R é a constante específica do gás (para o ar seco),
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K}).
  • Desse modo:
\rho = \frac{p}{R T}.
  • Explicando R: para o ar seco usa-se R \approx 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Essa constante vem de R = R_u/M, onde R_u é a constante universal dos gases (aprox. 8{,}3145\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}) e M é a massa molar do ar (aprox. 0{,}028964\\ \mathrm{kg/mol}). O valor prático que colocamos é R\approx287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Calcular a densidade \rho_{\text{ar}} aplicando a fórmula.
  • Substituindo:
\rho_{\text{ar}}=\frac{p}{R T}=\frac{100{,}000}{287\cdot 298{,}15}.
  • Faço os produtos:
287\cdot 298{,}15 = 85\,569{,}05\\ \text{(aprox.)}
e então
\rho_{\text{ar}}=\frac{100{,}000}{85\,569{,}05}\approx 1{,}1683\\ \mathrm{kg/m^3}.
(Se preferir, arredonda-se para 1{,}17\\ \mathrm{kg/m^3} dependendo da precisão exigida.)

Passo 5

Agora a densidade relativa (também chamada gravidade específica) em relação à água.
  • Definição:
\text{densidade relativa} = \frac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{ÁGUA}}}.Á
  • Substituindo valores:
\frac{\rho_{\text{ar}}}{\rho_{\text{ÁGUA}}}=\frac{1{,}1683}{1000}\approx 1{,}1683\times 10^{-3}.Á

Passo 6

Calcular a massa de ar na sala usando m=\rho V.
  • Substituição:
m=\rho_{\text{ar}}\cdot V = 1{,}1683\\ \mathrm{kg/m^3}\times 120\\ \mathrm{m^3}.
  • Produto:
m\approx 140{,}20\\ \mathrm{kg}.
(Arredondando, m\approx 140\\ \mathrm{kg} se quiser três algarismos significativos.)

Passo 7

Resumo rápido de onde os números vieram e observações práticas (um empurrãozinho de confiança).
  • Foi usada a hipótese de ar comportando-se como gás ideal (válida nas condições dadas: pressão próxima à atmosférica e temperatura ambiente).
  • A constante R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} é padrão para ar seco; se houvesse muita umidade isso muda um pouco, mas geralmente não altera muito o resultado.
  • Já tens os passos práticos para fazer isso rapidamente na prova: converter unidades, usar \rho=p/(RT), depois m=\rho V, e para densidade relativa dividir por 1000\\ \mathrm{kg/m^3}.

Resposta

\rho_{\text{ar}} \approx 1{,}1683\\ \mathrm{kg/m^3}
\text{densidade relativa} \approx 1{,}1683\times10^{-3}
m \approx 140{,}20\\ \mathrm{kg}

Exercícios relacionados