2- Quando titânio é aquecido à temperatura acima de 1200 K , ele muda sua estrutura de hexagonal para cúbica, com densidade equivalente a
. Através de análise por difração de raios-X, o valor determinado para a aresta da cela unitária foi equivalente a 333 pm . Calcule a quantidade de partículas na cela unitária, e determine o tipo de estrutura cúbica.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
-
Informações fornecidas:
- Quando o titânio está na fase cúbica a densidade é
. - A aresta da cela unitária determinada por DRX é
. - (Usarei a massa molar do titânio obtida na tabela periódica)
. - Constante de Avogadro:
.
- Quando o titânio está na fase cúbica a densidade é
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a quantidade de partículas (átomos) na cela unitária.
- Determinar o tipo de estrutura cúbica (simples, de corpo centrado — BCC — ou de faces centradas — FCC).
Passo 2
Ideia física e fórmula a usar (explicação didática).
Cada cela unitária contém átomos; a massa dessa cela é a massa de
átomos, que em unidades macroscópicas é
(porque
é massa de 1 mol e
é número de átomos por mol). A densidade é massa por volume, logo:
Cada cela unitária contém
Dessa fórmula isolamos
:
Aqui:
-
é a densidade (em ), -
é a constante de Avogadro, -
é o volume da cela (em ), -
é a massa molar em , -
será o número de átomos por cela (deve resultar aproximadamente num inteiro).
Passo 3
Conversão da aresta e cálculo do volume da cela.
Primeiro converter para
. Lembrando que
.
Primeiro converter
Volume da cela cúbica:
(Expliquei: fez-se o cubo de
produzindo
e os expoentes
combinaram dando
após colocar a vírgula correta.)
Passo 4
Substituir na fórmula para
e calcular passo a passo.
Simplificando as potências de 10:
. Agora calcular os fatores numéricos:
Logo
Passo 5
Interpretação do resultado e identificação da rede cúbica.
O valor obtido para é
, ou seja, muito próximo de
. O número de átomos por cela unitária deve ser um número inteiro; o resultado indica
.
O valor obtido para
Agora lembrar quantos átomos caracterizam as principais estruturas cúbicas:
- Cúbica simples (SC):
. - Cúbica de corpo centrado (BCC):
. - Cúbica de faces centradas (FCC):
.
Como
, a estrutura cúbica é a de corpo centrado (BCC). Explicação rápida de por que BCC tem
átomos: há
cantos cada um com
do átomo dentro da cela (total
) mais um átomo inteiro no centro da cela (total final
).
Passo 6
Checagem rápida (opcional) — densidade recalculada assumindo
para ver consistência.
Se ,
Se
o que coincide com a densidade dada (pequenas diferenças seriam apenas de arredondamento), confirmando a consistência do resultado.
Resposta
Estrutura: cúbica de corpo centrado (BCC).