2- Quando titânio é aquecido à temperatura acima de 1200 K , ele muda sua estrutura de hexagonal para cúbica, com densidade equivalente a 4,33 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Através de análise por difração de raios-X, o valor determinado para a aresta da cela unitária foi equivalente a 333 pm . Calcule a quantidade de partículas na cela unitária, e determine o tipo de estrutura cúbica.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Informações fornecidas:
    • Quando o titânio está na fase cúbica a densidade é \rho = 4,33\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.
    • A aresta da cela unitária determinada por DRX é a = 333\\ \mathrm{pm}.
    • (Usarei a massa molar do titânio obtida na tabela periódica) M = 47,87\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}.
    • Constante de Avogadro: N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • O que o enunciado pede:
    1. Calcular a quantidade de partículas (átomos) na cela unitária.
    2. Determinar o tipo de estrutura cúbica (simples, de corpo centrado — BCC — ou de faces centradas — FCC).

Passo 2

Ideia física e fórmula a usar (explicação didática).
Cada cela unitária contém n átomos; a massa dessa cela é a massa de n átomos, que em unidades macroscópicas é \dfrac{n M}{N_A} (porque M é massa de 1 mol e N_A é número de átomos por mol). A densidade é massa por volume, logo:
\rho = \frac{\text{massa da cela}}{\text{volume da cela}} = \frac{n M}{N_A V}.
Dessa fórmula isolamos n:
n = \frac{\rho N_A V}{M}.
Aqui:
  • \rho é a densidade (em \mathrm{g\,cm^{-3}}),
  • N_A é a constante de Avogadro,
  • V é o volume da cela (em \mathrm{cm^{3}}),
  • M é a massa molar em \mathrm{g\,mol^{-1}},
  • n será o número de átomos por cela (deve resultar aproximadamente num inteiro).

Passo 3

Conversão da aresta e cálculo do volume da cela.
Primeiro converter a para \mathrm{cm}. Lembrando que 1\\ \mathrm{pm}=10^{-12}\\ \mathrm{m}=10^{-10}\\ \mathrm{cm}.
a = 333\\ \mathrm{pm} = 333\times10^{-10}\\ \mathrm{cm} = 3,33\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.
Volume da cela cúbica:
V = a^3 = (3,33\times10^{-8})^3\\ \mathrm{cm^3} = 3,6926\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^3}.
(Expliquei: fez-se o cubo de 3,33 produzindo 3,6926 e os expoentes 10^{-24} combinaram dando 10^{-23} após colocar a vírgula correta.)

Passo 4

Substituir na fórmula para n e calcular passo a passo.
n = \frac{\rho N_A V}{M} = \frac{4,33 \times 6,022\times10^{23} \times 3,6926\times10^{-23}}{47,87}.
Simplificando as potências de 10: 10^{23}\times10^{-23}=1. Agora calcular os fatores numéricos:
4,33\times 6,022 \times 3,6926 \approx 96,2846.
Logo
n \approx \frac{96,2846}{47,87} \approx 2,01.

Passo 5

Interpretação do resultado e identificação da rede cúbica.
O valor obtido para n é n\approx 2,01, ou seja, muito próximo de 2. O número de átomos por cela unitária deve ser um número inteiro; o resultado indica n=2.
Agora lembrar quantos átomos caracterizam as principais estruturas cúbicas:
  • Cúbica simples (SC): n=1.
  • Cúbica de corpo centrado (BCC): n=2.
  • Cúbica de faces centradas (FCC): n=4.
Como n=2, a estrutura cúbica é a de corpo centrado (BCC). Explicação rápida de por que BCC tem 2 átomos: há 8 cantos cada um com 1/8 do átomo dentro da cela (total 1) mais um átomo inteiro no centro da cela (total final 2).

Passo 6

Checagem rápida (opcional) — densidade recalculada assumindo n=2 para ver consistência.
Se n=2,
\rho_{\text{calc}}=\frac{2\times47,87}{6,022\times10^{23}\times 3,6926\times10^{-23}}\approx 4,33\\ \mathrm{g\,cm^{-3}},
o que coincide com a densidade dada (pequenas diferenças seriam apenas de arredondamento), confirmando a consistência do resultado.

Resposta

n=2\\ \text{átomos por cela unitária}áá
Estrutura: cúbica de corpo centrado (BCC).

Exercícios relacionados