3- O Molibdênio possui uma estrutura cristalina cúbica de corpo centrado. Sabendo-se que o raio atômico do Mo é igual a 0,1363 \mathrm{~nm}, determine:
a) O volume da cela unitária ( \mathrm{em} \mathrm{cm}^{3} )
b) A densidade do molibdênio prata ( \mathrm{em} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ).

Passo 1

Vou identificar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Raio atômico do molibdênio: r = 0{,}1363\\ \mathrm{nm}.
  • Estrutura cristalina: cúbica de corpo centrado (BCC).
O enunciado pede:
a) O volume da cela unitária em \mathrm{cm}^{3}.
b) A densidade do molibdênio em \mathrm{g/cm^{3}}.
Informações adicionais que vou usar (valores padrão):
  • Massa molar do molibdênio: M = 95{,}95\\ \mathrm{g/mol} (valor da tabela periódica).
  • Constante de Avogadro: N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.

Passo 2

Entender a relação geométrica entre o raio atômico r e a aresta da cela a para uma estrutura BCC e por que ela vale.
Explicação geométrica (passo-a-passo, sem pular):
  • Na célula BCC há um átomo em cada canto (8 cantos) e 1 átomo no centro. Os átomos dos cantos tocam o átomo do centro ao longo da diagonal espacial (diagonal do cubo).
  • A diagonal do cubo tem comprimento \sqrt{3}\,a (porque é a hipotenusa em 3D: a^2+a^2+a^2=3a^2).
  • Ao percorrer a diagonal espacial passa-se por um raio do átomo de um canto, pelo diâmetro do átomo central e por outro raio do canto: isso totaliza 4r.
  • Portanto a relação é
\sqrt{3}\,a = 4r
e isolando a:
a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.

Passo 3

Converter o raio fornecido para centímetros (porque o volume e densidade pedem centímetros).
  • Sabendo que 1\\ \mathrm{nm} = 10^{-7}\\ \mathrm{cm}, temos
r = 0{,}1363\\ \mathrm{nm} = 0{,}1363\times10^{-7}\\ \mathrm{cm} = 1{,}363\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Calcular a aresta a da cela unitária usando a=\dfrac{4r}{\sqrt{3}}.
  • Substituindo o valor de r:
a = \frac{4\cdot\bigl(1{,}363\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\bigr)}{\sqrt{3}} = \frac{5{,}452\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}}{1{,}7320508\ldots} \approx 3{,}148\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Calcular o volume da cela unitária V = a^{3}.
  • Elevando a ao cubo:
V = a^{3} = \bigl(3{,}148\times10^{-8}\\ \mathrm{cm}\bigr)^{3} \approx 3{,}119\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}.
Esse é o volume da cela unitária (resposta da parte a).

Passo 6

Calcular a densidade: primeiro determinar a massa de átomos em uma cela unitária, depois dividir pelo volume.
  • Número de átomos por cela em BCC: cada cela contém n=2 átomos efetivos (8 cantos \times 1/8 + 1 centro).
  • Massa de um átomo (em gramas) a partir da massa molar:
\text{massa por cela} = \frac{n\,M}{N_A} = \frac{2\cdot(95{,}95\\ \mathrm{g/mol})}{6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}}.
  • Calcular numericamente:
\text{massa por cela}\approx \frac{191{,}90\\ \mathrm{g/mol}}{6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx 3{,}186\times10^{-22}\\ \mathrm{g}.

Passo 7

Dividir a massa por cela pelo volume da cela para obter a densidade \rho.
  • Aplicando \rho = \dfrac{\text{massa por cela}}{V}:
\rho = \frac{3{,}186\times10^{-22}\\ \mathrm{g}}{3{,}119\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}} \approx 10{,}21\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Breve verificação mental: valor esperado para molibdênio é cerca de 10{,}2\\ \mathrm{g/cm^{3}}, então o resultado faz sentido.

Resposta

a) 3{,}119\times10^{-23}\\ \mathrm{cm^{3}}
b) 10{,}21\\ \mathrm{g/cm^{3}}

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