Para que o titânio metálico possa perder elétrons, é necessário um fóton com pelo menos
de energia.
(a) Qual é a frequência mínima de luz necessária para que o titânio possa perder elétrons mediante efeito fotoelétrico?
(b) Qual é o comprimento de onda dessa luz?
(c) É possível que o titânio metálico perca elétrons usando luz visível?
(d) Se o titânio é irradiado com luz de comprimento de onda de 233 nm , qual é a energia cinética máxima possível dos elétrons emitidos?
(e) Qual é o número máximo de elétrons que podem ser liberados por uma emissão de luz cuja energia total é de
?
(a) Qual é a frequência mínima de luz necessária para que o titânio possa perder elétrons mediante efeito fotoelétrico?
(b) Qual é o comprimento de onda dessa luz?
(c) É possível que o titânio metálico perca elétrons usando luz visível?
(d) Se o titânio é irradiado com luz de comprimento de onda de 233 nm , qual é a energia cinética máxima possível dos elétrons emitidos?
(e) Qual é o número máximo de elétrons que podem ser liberados por uma emissão de luz cuja energia total é de
Passo 1
O enunciado dá a seguinte informação e pede as perguntas abaixo.
Informações fornecidas:
- Energia mínima (função trabalho) necessária para ejetar elétrons do titânio:
. - Há perguntas (a) a (e) sobre frequências, comprimento de onda, comparação com luz visível, energia cinética máxima para
e número máximo de elétrons liberáveis por uma emissão de energia total dada.
O que é pedido:
(a) A frequência mínima de luz necessária para que ocorra o efeito fotoelétrico no titânio.
(b) O comprimento de onda correspondente a essa frequência mínima.
(c) Se é possível ejetar elétrons com luz visível.
(d) A energia cinética máxima dos elétrons quando o titânio é irradiado com .
(e) O número máximo de elétrons que podem ser liberados por uma emissão de luz cuja energia total é de (vou interpretar isso como
; se o enunciado original usava outra unidade, o procedimento é o mesmo mudando só essa quantidade).
(a) A frequência mínima de luz necessária para que ocorra o efeito fotoelétrico no titânio.
(b) O comprimento de onda correspondente a essa frequência mínima.
(c) Se é possível ejetar elétrons com luz visível.
(d) A energia cinética máxima dos elétrons quando o titânio é irradiado com
(e) O número máximo de elétrons que podem ser liberados por uma emissão de luz cuja energia total é de
Constantes que usarei (valores usuais, arredondados de forma consistente):
- Constante de Planck:
. - Velocidade da luz no vácuo:
. - Conversão energia — elétron-volt:
.
Passo 2
Encontrar a frequência mínima (parte a).
Conceito e fórmula
- A relação fundamental entre energia de um fóton e sua frequência é a relação de Planck:
onde
é a energia do fóton,
é a constante de Planck e
é a frequência do fóton.
- Para que um fóton consiga arrancar um elétron do metal, sua energia deve ser pelo menos igual à função trabalho
do metal. Assim a frequência mínima satisfaz
- Isolando
:
Cálculo numérico
- Substituindo
e :
- Faço a divisão de coeficientes e subtraio os expoentes:
- Portanto
Interpretando: qualquer fóton com frequência igual ou maior que esse valor tem energia suficiente para superar a função trabalho do titânio.
Passo 3
Encontrar o comprimento de onda correspondente (parte b).
Conceito e fórmula
- Frequência
e comprimento de onda estão ligados pela velocidade de propagação da luz:
- Assim o comprimento de onda associado à frequência mínima é
(Chamei de
porque, para energia mínima, o comprimento de onda é o maior possível que ainda ejetaria elétrons; comprimentos maiores têm energias menores.)
Cálculo numérico
- Uso
e :
- Dividindo:
- Em unidades mais usuais para luz, transformo para nanômetros:
,
Arredondei de forma consistente antes para duas ou três cifras significativas: resultado final
(vou apresentar
na resposta final).
Passo 4
Responder se luz visível pode ejetar elétrons do titânio (parte c).
Conceito
- O intervalo aproximado do espectro visível vai de
até . Fótons com comprimento de onda maior que têm energia menor que a função trabalho e, portanto, NÃO ejetam elétrons.
Comparação
- A
calculada é , que fica na faixa do ultravioleta (UV), bem abaixo de . - Logo, fótons visíveis (
) têm energia insuficiente.
Conclusão: não é possível, com luz visível, ejetar elétrons do titânio (salvo se houver efeitos secundários ou aquecimento intenso; mas no contexto do efeito fotoelétrico simples a resposta é não).
Passo 5
Calcular a energia cinética máxima dos elétrons com
(parte d).
Conceitos e fórmulas
- Energia de um fóton de comprimento de onda
:
- Equação fotoelétrica de Einstein (energia do fóton vira trabalho de saída
mais energia cinética máxima ):
Cálculo numérico em joules
- Primeiro calcular
para :
- Multiplcando o numerador:
. - Dividindo pelo denominador
:
- Então
Converter para elétron-volts (opcional, útil para intuição)
Interpretação: fótons de
têm energia suficiente para liberar elétrons e deixam sobrar cerca de
de energia cinética máxima por elétron.
Passo 6
Calcular o número máximo de elétrons liberáveis por uma emissão de energia total
(parte e).
Interpretação e conceito
- Cada elétron liberado requer pelo menos energia igual à função trabalho
. Mesmo que fotões individuais possam ter mais energia (a sobra vira energia cinética), o número máximo de elétrons que se pode liberar a partir de uma dada energia total disponível ocorre quando se usa exatamente por elétron (situação idealizada). - Assim o máximo de elétrons é a parte inteira (arredondar para baixo) de
Cálculo numérico
- Usando
:
- Faço a divisão:
e os expoentes dão . Assim
- Como não se pode emitir fração de elétron, o número máximo inteiro é
elétrons (isto é, elétrons), assumindo aproveitamento perfeito da energia e fótons com energia exatamente mínima por elétron.
Observação prática: na realidade a eficiência não é 100% e fótons têm energia discreta; mas esse cálculo dá o limite teórico máximo.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não — luz visível ( ) tem comprimento de onda maior que
, logo energia insuficiente.
(d)
(e) elétrons
(b)
(c) Não — luz visível (
(d)
(e)