Para que o titânio metálico possa perder elétrons, é necessário um fóton com pelo menos 6,94 \times 10^{-19} \mathrm{~J} de energia.
(a) Qual é a frequência mínima de luz necessária para que o titânio possa perder elétrons mediante efeito fotoelétrico?
(b) Qual é o comprimento de onda dessa luz?
(c) É possível que o titânio metálico perca elétrons usando luz visível?
(d) Se o titânio é irradiado com luz de comprimento de onda de 233 nm , qual é a energia cinética máxima possível dos elétrons emitidos?
(e) Qual é o número máximo de elétrons que podem ser liberados por uma emissão de luz cuja energia total é de 2,00 \mu ?

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação e pede as perguntas abaixo.
Informações fornecidas:
  • Energia mínima (função trabalho) necessária para ejetar elétrons do titânio: \,6{,}94\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Há perguntas (a) a (e) sobre frequências, comprimento de onda, comparação com luz visível, energia cinética máxima para \lambda=233\\ \mathrm{nm} e número máximo de elétrons liberáveis por uma emissão de energia total dada.
O que é pedido:
(a) A frequência mínima de luz necessária para que ocorra o efeito fotoelétrico no titânio.
(b) O comprimento de onda correspondente a essa frequência mínima.
(c) Se é possível ejetar elétrons com luz visível.
(d) A energia cinética máxima dos elétrons quando o titânio é irradiado com \lambda=233\\ \mathrm{nm}.
(e) O número máximo de elétrons que podem ser liberados por uma emissão de luz cuja energia total é de 2{,}00\\ \mu (vou interpretar isso como 2{,}00\\ \mu\mathrm{J}=2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{J}; se o enunciado original usava outra unidade, o procedimento é o mesmo mudando só essa quantidade).
Constantes que usarei (valores usuais, arredondados de forma consistente):
  • Constante de Planck: h=6{,}63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Velocidade da luz no vácuo: c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Conversão energia — elétron-volt: 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Encontrar a frequência mínima (parte a).
Conceito e fórmula
  • A relação fundamental entre energia de um fóton e sua frequência é a relação de Planck:
E = h f,
onde E é a energia do fóton, h é a constante de Planck e f é a frequência do fóton.
  • Para que um fóton consiga arrancar um elétron do metal, sua energia deve ser pelo menos igual à função trabalho \varphi do metal. Assim a frequência mínima f_{\min} satisfaz
\varphi = h f_{\min}.
  • Isolando f_{\min}:
f_{\min}=\frac{\varphi}{h}.
Cálculo numérico
  • Substituindo \varphi=6{,}94\times10^{-19}\\ \mathrm{J} e h=6{,}63\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}:
f_{\min}=\frac{6{,}94\times10^{-19}}{6{,}63\times10^{-34}}.
  • Faço a divisão de coeficientes e subtraio os expoentes:
\frac{6{,}94}{6{,}63}\approx1{,}047, \qquad 10^{-19-(-34)}=10^{15}.
  • Portanto
f_{\min}\approx1{,}05\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Interpretando: qualquer fóton com frequência igual ou maior que esse valor tem energia suficiente para superar a função trabalho do titânio.

Passo 3

Encontrar o comprimento de onda correspondente (parte b).
Conceito e fórmula
  • Frequência f e comprimento de onda \lambda estão ligados pela velocidade de propagação da luz:
c = \lambda f.
  • Assim o comprimento de onda associado à frequência mínima é
\lambda_{\max}=\frac{c}{f_{\min}}.
(Chamei de \lambda_{\max} porque, para energia mínima, o comprimento de onda é o maior possível que ainda ejetaria elétrons; comprimentos maiores têm energias menores.)
Cálculo numérico
  • Uso c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e f_{\min}=1{,}05\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}:
\lambda_{\max}=\frac{3{,}00\times10^{8}}{1{,}05\times10^{15}}.
  • Dividindo:
\lambda_{\max}\approx2{,}86\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Em unidades mais usuais para luz, transformo para nanômetros: 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m},
\lambda_{\max}\approx2{,}86\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=286\\ \mathrm{nm}.
Arredondei de forma consistente antes para duas ou três cifras significativas: resultado final \approx287\\ \mathrm{nm} (vou apresentar 287\\ \mathrm{nm} na resposta final).

Passo 4

Responder se luz visível pode ejetar elétrons do titânio (parte c).
Conceito
  • O intervalo aproximado do espectro visível vai de \,380\\ \mathrm{nm} até \,750\\ \mathrm{nm}. Fótons com comprimento de onda maior que \lambda_{\max} têm energia menor que a função trabalho e, portanto, NÃO ejetam elétrons.
Comparação
  • A \lambda_{\max} calculada é \approx287\\ \mathrm{nm}, que fica na faixa do ultravioleta (UV), bem abaixo de 380\\ \mathrm{nm}.
  • Logo, fótons visíveis ( \lambda\ge380\\ \mathrm{nm}) têm energia insuficiente.
Conclusão: não é possível, com luz visível, ejetar elétrons do titânio (salvo se houver efeitos secundários ou aquecimento intenso; mas no contexto do efeito fotoelétrico simples a resposta é não).

Passo 5

Calcular a energia cinética máxima dos elétrons com \lambda=233\\ \mathrm{nm} (parte d).
Conceitos e fórmulas
  • Energia de um fóton de comprimento de onda \lambda:
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda}.ó
  • Equação fotoelétrica de Einstein (energia do fóton vira trabalho de saída \varphi mais energia cinética máxima K_{\max}):
K_{\max}=E_{\text{fóton}}-\varphi=\frac{h c}{\lambda}-\varphi.ó
Cálculo numérico em joules
  • Primeiro calcular E_{\text{fóton}}ó para \lambda=233\\ \mathrm{nm}=233\times10^{-9}\\ \mathrm{m}:
E_{\text{fóton}}=\frac{6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^{8}}{233\times10^{-9}}.ó
  • Multiplcando o numerador: 6{,}63\times10^{-34}\cdot3{,}00\times10^{8}=1{,}989\times10^{-25}.
  • Dividindo pelo denominador 2{,}33\times10^{-7}:
E_{\text{fóton}}\approx8{,}54\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
  • Então
K_{\max}=8{,}54\times10^{-19}-6{,}94\times10^{-19}=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Converter para elétron-volts (opcional, útil para intuição)
K_{\max}=\frac{1{,}60\times10^{-19}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx0{,}999\\ \mathrm{eV}\approx1{,}00\\ \mathrm{eV}.
Interpretação: fótons de 233\\ \mathrm{nm} têm energia suficiente para liberar elétrons e deixam sobrar cerca de 1{,}00\\ \mathrm{eV} de energia cinética máxima por elétron.

Passo 6

Calcular o número máximo de elétrons liberáveis por uma emissão de energia total 2{,}00\\ \mu\mathrm{J} (parte e).
Interpretação e conceito
  • Cada elétron liberado requer pelo menos energia igual à função trabalho \varphi=6{,}94\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Mesmo que fotões individuais possam ter mais energia (a sobra vira energia cinética), o número máximo de elétrons que se pode liberar a partir de uma dada energia total disponível ocorre quando se usa exatamente \varphi por elétron (situação idealizada).
  • Assim o máximo de elétrons é a parte inteira (arredondar para baixo) de
N_{\max}=\frac{E_{\text{total}}}{\varphi}.
Cálculo numérico
  • Usando E_{\text{total}}=2{,}00\\ \mu\mathrm{J}=2{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{J}:
N_{\max}=\frac{2{,}00\times10^{-6}}{6{,}94\times10^{-19}}.
  • Faço a divisão: \dfrac{2{,}00}{6{,}94}\approx0{,}2882 e os expoentes dão 10^{13}. Assim
N_{\max}\approx2{,}88\times10^{12}.
  • Como não se pode emitir fração de elétron, o número máximo inteiro é 2{,}88\times10^{12} elétrons (isto é, 2{,}880,000,000,000 elétrons), assumindo aproveitamento perfeito da energia e fótons com energia exatamente mínima por elétron.
Observação prática: na realidade a eficiência não é 100% e fótons têm energia discreta; mas esse cálculo dá o limite teórico máximo.

Resposta

(a) f_{\min}=1{,}05\times10^{15}\\ \mathrm{Hz}
(b) \lambda_{\max}\approx2{,}87\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=287\\ \mathrm{nm}
(c) Não — luz visível ( 380\text{–}750\\ \mathrm{nm}) tem comprimento de onda maior que 287\\ \mathrm{nm}, logo energia insuficiente.
(d) K_{\max}=1{,}60\times10^{-19}\\ \mathrm{J}\approx1{,}00\\ \mathrm{eV}
(e) N_{\max}=2{,}88\times10^{12} elétrons

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