Se tivermos um gás perfeito de densidade de massa
e associarmos uma velocidade
a cada elemento diferencial, então a taxa de fluxo de massa será
. Assim, considerações físicas levarão à equação da continuidade,
. (a) Explique com palavras a interpretação física dessa equação. (b) Mostre que
, onde
é a massa total do gás dentro da superfície fechada constante
, e explique o significado físico dessa equacão.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma densidade de massa espacial e temporal:
em . - Um campo de velocidades:
em . - A equação diferencial de continuidade local:
O que é pedido:
(a) Explicar, em palavras, a interpretação física dessa equação diferencial.
(b) Mostrar que, para uma superfície fechada fixa que envolve um volume
, vale
(a) Explicar, em palavras, a interpretação física dessa equação diferencial.
(b) Mostrar que, para uma superfície fechada fixa
onde
é a massa total do gás dentro de
, e explicar o significado físico dessa equação.
Nenhuma outra informação é necessária; a superfície
é fixa no espaço (não móvel).
Passo 2
Interpretação física dos termos da equação local. Vou explicar cada símbolo e o que ele representa fisicamente:
-
: densidade de massa no ponto e instante . Multiplicada pelo volume diferencial dá a massa diferencial . -
: velocidade do fluido em . -
: é o vetor fluxo de massa (ou densidade de fluxo de massa). Sua unidade é . Fisicamente, é a massa por segundo que atravessa por unidade de área com normal . -
: divergência do fluxo de massa. Em um ponto, mede o excesso de fluxo de massa saindo (se positivo) ou entrando (se negativo) por um volume infinitesimal ao redor do ponto.
A equação
diz que a variação temporal local da densidade de massa em um ponto (
) é igual ao negativo da divergência do fluxo de massa nesse ponto. Em palavras simples:
- Se há mais massa saindo do que entrando no pequeno volume (divergência positiva), a densidade local diminui (
). - Se há mais massa entrando do que saindo (divergência negativa), a densidade local aumenta (
).
Isso é a expressão local da conservação de massa: massa não é criada nem destruída no fluido (a menos que haja fontes/sumidouros explícitos, que aqui não existem).
Passo 3
Preparação para passar da forma diferencial para a forma integral: definir massa total no volume e usar teorema da divergência.
Definições úteis:
- Volume
é o interior da superfície fechada fixa . - Massa total dentro de
em instante :
- Teorema da divergência (ou de Gauss): para um campo vetorial bem comportado
,
onde
é o elemento de superfície apontando para fora do volume.
Aqui vamos aplicar o teorema da divergência com
.
Passo 4
Integração da equação de continuidade sobre o volume
.
Começo integrando a equação diferencial dada sobre
:
Pelo teorema da divergência, o lado esquerdo vira integral de superfície:
Expliquei acima que
aponta para fora do volume; assim
mede a massa por segundo que sai (se positivo) através do elemento de área.
Passo 5
Intercâmbio da integral temporal e espacial e definição de
.
Como a superfície
é fixa (volume
fixo no espaço), podemos trocar a ordem de integrar sobre
e derivar no tempo quando conveniente. Em particular:
A igualdade acima utiliza que
não depende do tempo; então a derivada temporal da integral da densidade é a integral da derivada temporal.
Substituindo na relação do Passo 4 obtemos:
Passo 6
Interpretação física da forma integral obtida.
A fórmula
tem a interpretação direta: a taxa líquida de massa saindo do volume
através da superfície
(lado esquerdo) é igual ao negativo da taxa de variação da massa dentro de
. Ou seja:
- Se o fluxo de massa através de
é positivo (mais massa saindo do que entrando), então : a massa dentro diminui. - Se o fluxo de massa através de
é negativo (mais massa entrando do que saindo), então : a massa dentro aumenta. - Se o fluxo líquido é zero, então
: a massa dentro do volume permanece constante (condição de balanço).
Essa é a forma macroscópica (integral) da conservação de massa, muito usada em aplicações: ela diz que qualquer variação de massa dentro de um controle fixo vem do fluxo através da superfície do controle.
Passo 7
Exemplos e comentário final curto para fixar a intuição.
- Caso incompressível clássico: se
é constante no tempo e no espaço (ou somente constante no tempo), então e a equação local reduz a . Interpretação: o campo de velocidades é solenoidal — volume (e massa) não se acumula nem rarefaz localmente. - Se houver uma fonte de massa (por ex. injeção dentro do volume), a equação teria um termo adicional de fonte
e a forma integral passaria a incluir a contribuição dessa fonte.
E lembrar: o sinal menos é apenas consequência da definição de
como vetor normal apontando para fora e da convenção de considerar fluxo positivo saindo do volume.
Resposta
(a) A equação
significa, em palavras, que a variação temporal local da densidade de massa em um ponto é determinada pelo balanço do fluxo de massa: se mais massa sai do que entra no volume infinitesimal ao redor do ponto (divergência do fluxo positiva), a densidade local diminui, e vice‑versa. É a expressão local da conservação de massa (massa não é criada nem destruída).
(b) \n Esta igualdade (obtida integrando a equação de continuidade sobre o volume e aplicando o teorema da divergência) diz que a taxa líquida de massa que sai através da superfície
é igual ao negativo da taxa de variação da massa total
dentro da superfície; ou seja, qualquer perda (ganho) de massa dentro do volume é explicada pelo fluxo de massa que sai (entra) pela fronteira.
(b)