Se tivermos um gás perfeito de densidade de massa \rho_{m} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e associarmos uma velocidade \mathbf{U} \mathrm{m} / \mathrm{s} a cada elemento diferencial, então a taxa de fluxo de massa será \rho_{m} \mathbf{U} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}. Assim, considerações físicas levarão à equação da continuidade, \nabla \cdot\left(\rho_{m} \mathrm{U}\right)=-\partial \rho_{m} / \partial t. (a) Explique com palavras a interpretação física dessa equação. (b) Mostre que \oint_{s} \rho_{m} \mathbf{U} \cdot d \mathbf{S}=-d M / d t, onde M é a massa total do gás dentro da superfície fechada constante S, e explique o significado físico dessa equacão.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma densidade de massa espacial e temporal: \rho_{m}(\mathbf{x},t) em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
  • Um campo de velocidades: \mathbf{U}(\mathbf{x},t) em \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • A equação diferencial de continuidade local:
\nabla\cdot\big(\rho_{m}\mathbf{U}\big) = -\frac{\partial \rho_{m}}{\partial t}.
O que é pedido:
(a) Explicar, em palavras, a interpretação física dessa equação diferencial.
(b) Mostrar que, para uma superfície fechada fixa S que envolve um volume V, vale
\oint_{S} \rho_{m}\mathbf{U}\cdot d\mathbf{S} = -\frac{dM}{dt},
onde M é a massa total do gás dentro de S, e explicar o significado físico dessa equação.
Nenhuma outra informação é necessária; a superfície S é fixa no espaço (não móvel).

Passo 2

Interpretação física dos termos da equação local. Vou explicar cada símbolo e o que ele representa fisicamente:
  • \rho_{m}(\mathbf{x},t): densidade de massa no ponto \mathbf{x} e instante t. Multiplicada pelo volume diferencial dV dá a massa diferencial dm = \rho_{m}\,dV.
  • \mathbf{U}(\mathbf{x},t): velocidade do fluido em \mathbf{x},t.
  • \rho_{m}\mathbf{U}: é o vetor fluxo de massa (ou densidade de fluxo de massa). Sua unidade é \mathrm{kg}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}). Fisicamente, \rho_{m}\mathbf{U}\cdot\mathbf{n} é a massa por segundo que atravessa por unidade de área com normal \mathbf{n}.
  • \nabla\cdot(\rho_{m}\mathbf{U}): divergência do fluxo de massa. Em um ponto, mede o excesso de fluxo de massa saindo (se positivo) ou entrando (se negativo) por um volume infinitesimal ao redor do ponto.
A equação
\nabla\cdot\big(\rho_{m}\mathbf{U}\big) = -\frac{\partial \rho_{m}}{\partial t}
diz que a variação temporal local da densidade de massa em um ponto ( \partial\rho_{m}/\partial t) é igual ao negativo da divergência do fluxo de massa nesse ponto. Em palavras simples:
  • Se há mais massa saindo do que entrando no pequeno volume (divergência positiva), a densidade local diminui ( \partial\rho_{m}/\partial t < 0).
  • Se há mais massa entrando do que saindo (divergência negativa), a densidade local aumenta ( \partial\rho_{m}/\partial t > 0).
Isso é a expressão local da conservação de massa: massa não é criada nem destruída no fluido (a menos que haja fontes/sumidouros explícitos, que aqui não existem).

Passo 3

Preparação para passar da forma diferencial para a forma integral: definir massa total no volume e usar teorema da divergência.
Definições úteis:
  • Volume V é o interior da superfície fechada fixa S.
  • Massa total dentro de V em instante t:
M(t) \;=\; \int_{V} \rho_{m}(\mathbf{x},t)\,dV.
  • Teorema da divergência (ou de Gauss): para um campo vetorial bem comportado \mathbf{F},
\int_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV \;=\; \oint_{S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},
onde d\mathbf{S} é o elemento de superfície apontando para fora do volume.
Aqui vamos aplicar o teorema da divergência com \mathbf{F}=\rho_{m}\mathbf{U}.

Passo 4

Integração da equação de continuidade sobre o volume V.
Começo integrando a equação diferencial dada sobre V:
\int_{V} \nabla\cdot\big(\rho_{m}\mathbf{U}\big)\,dV \;=\; -\int_{V} \frac{\partial \rho_{m}}{\partial t}\,dV.
Pelo teorema da divergência, o lado esquerdo vira integral de superfície:
\oint_{S} \rho_{m}\mathbf{U}\cdot d\mathbf{S} \;=\; -\int_{V} \frac{\partial \rho_{m}}{\partial t}\,dV.
Expliquei acima que d\mathbf{S} aponta para fora do volume; assim \rho_{m}\mathbf{U}\cdot d\mathbf{S} mede a massa por segundo que sai (se positivo) através do elemento de área.

Passo 5

Intercâmbio da integral temporal e espacial e definição de M(t).
Como a superfície S é fixa (volume V fixo no espaço), podemos trocar a ordem de integrar sobre V e derivar no tempo quando conveniente. Em particular:
\int_{V} \frac{\partial \rho_{m}}{\partial t}\,dV \;=\; \frac{d}{dt}\int_{V} \rho_{m}\,dV \;=\; \frac{dM}{dt}.
A igualdade acima utiliza que V não depende do tempo; então a derivada temporal da integral da densidade é a integral da derivada temporal.
Substituindo na relação do Passo 4 obtemos:
\oint_{S} \rho_{m}\mathbf{U}\cdot d\mathbf{S} \;=\; -\frac{dM}{dt}.

Passo 6

Interpretação física da forma integral obtida.
A fórmula
\oint_{S} \rho_{m}\mathbf{U}\cdot d\mathbf{S} = -\frac{dM}{dt}
tem a interpretação direta: a taxa líquida de massa saindo do volume V através da superfície S (lado esquerdo) é igual ao negativo da taxa de variação da massa dentro de V. Ou seja:
  • Se o fluxo de massa através de S é positivo (mais massa saindo do que entrando), então \frac{dM}{dt}<0: a massa dentro diminui.
  • Se o fluxo de massa através de S é negativo (mais massa entrando do que saindo), então \frac{dM}{dt}>0: a massa dentro aumenta.
  • Se o fluxo líquido é zero, então \frac{dM}{dt}=0: a massa dentro do volume permanece constante (condição de balanço).
Essa é a forma macroscópica (integral) da conservação de massa, muito usada em aplicações: ela diz que qualquer variação de massa dentro de um controle fixo vem do fluxo através da superfície do controle.

Passo 7

Exemplos e comentário final curto para fixar a intuição.
  • Caso incompressível clássico: se \rho_{m} é constante no tempo e no espaço (ou somente constante no tempo), então \partial\rho_{m}/\partial t = 0 e a equação local reduz a \nabla\cdot\mathbf{U}=0. Interpretação: o campo de velocidades é solenoidal — volume (e massa) não se acumula nem rarefaz localmente.
  • Se houver uma fonte de massa (por ex. injeção dentro do volume), a equação teria um termo adicional de fonte \,q(\mathbf{x},t) e a forma integral passaria a incluir a contribuição dessa fonte.
E lembrar: o sinal menos é apenas consequência da definição de d\mathbf{S} como vetor normal apontando para fora e da convenção de considerar fluxo positivo saindo do volume.

Resposta

(a) A equação \nabla\cdot\big(\rho_{m}\mathbf{U}\big) = -\dfrac{\partial \rho_{m}}{\partial t} significa, em palavras, que a variação temporal local da densidade de massa em um ponto é determinada pelo balanço do fluxo de massa: se mais massa sai do que entra no volume infinitesimal ao redor do ponto (divergência do fluxo positiva), a densidade local diminui, e vice‑versa. É a expressão local da conservação de massa (massa não é criada nem destruída).
(b) \displaystyle \oint_{S} \rho_{m}\mathbf{U}\cdot d\mathbf{S} = -\frac{dM}{dt} \n Esta igualdade (obtida integrando a equação de continuidade sobre o volume e aplicando o teorema da divergência) diz que a taxa líquida de massa que sai através da superfície S é igual ao negativo da taxa de variação da massa total M dentro da superfície; ou seja, qualquer perda (ganho) de massa dentro do volume é explicada pelo fluxo de massa que sai (entra) pela fronteira.

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