Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico:
Passo 1
O enunciado dá as raízes do polinômio característico:
,
,
,
.
O que ele pede:
O que ele pede:
- determinar a ordem da EDO;
- escrever a solução geral da EDO (forma real) com base nessas raízes.
Passo 2
Determinar a ordem da EDO a partir das raízes: a ordem de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes é igual ao grau do polinômio característico, ou seja, ao número de raízes contadas com suas multiplicidades. Aqui temos quatro raízes listadas (algumas repetidas), logo a ordem é
.
Passo 3
Relembrando um fato-chave (explicação didática): se uma raiz complexa simples do tipo
aparece no polinômio característico, a contribuição real correspondente à solução geral é
onde
e
são constantes. Isso vem de escrever
e tomar parte real/ímpar para obter
e
. Exemplo simples: se
é simples, então
e
dão, ao separar partes reais e imaginárias, as duas funções independentes
e
.
Passo 4
Agora, multiplicidade maior que 1 (explicação didática): se uma raiz complexa
tem multiplicidade
, então, para cada
, as funções
são soluções complexas. Tomando partes reais e imaginárias dessas, obtemos
soluções reais independentes da forma
para
. Em palavras: a multiplicidade
introduz fatores polinomiais em
até grau
.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: as raízes são
, cada uma com multiplicidade
(porque
aparece duas vezes e
aparece duas vezes). Então
,
e
. Pelas regras do passo anterior, para
e
obtemos as quatro soluções reais independentes:
Passo 6
Construindo a solução geral como combinação linear dessas quatro soluções (explicando a forma prática): juntamos constantes arbitrárias
e podemos reorganizar a soma para escrever a solução de forma compacta. O resultado é
onde
são constantes reais arbitrárias determinadas por condições iniciais.
Resposta
Ordem: