Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico:
\lambda_{1}=-8+2 i, \lambda_{2}=-8+2 i, \lambda_{3}=-8-2 i, \lambda_{4}=-8-2 i

Passo 1

O enunciado dá as raízes do polinômio característico:
\lambda_{1}=-8+2i, \lambda_{2}=-8+2i, \lambda_{3}=-8-2i, \lambda_{4}=-8-2i.
O que ele pede:
  1. determinar a ordem da EDO;
  2. escrever a solução geral da EDO (forma real) com base nessas raízes.

Passo 2

Determinar a ordem da EDO a partir das raízes: a ordem de uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes é igual ao grau do polinômio característico, ou seja, ao número de raízes contadas com suas multiplicidades. Aqui temos quatro raízes listadas (algumas repetidas), logo a ordem é 4.

Passo 3

Relembrando um fato-chave (explicação didática): se uma raiz complexa simples do tipo \alpha\pm i\beta aparece no polinômio característico, a contribuição real correspondente à solução geral é
e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\big),
onde A e B são constantes. Isso vem de escrever e^{(\alpha+i\beta)x} e tomar parte real/ímpar para obter \cos e \sin. Exemplo simples: se \lambda=\alpha+i\beta é simples, então e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x} dão, ao separar partes reais e imaginárias, as duas funções independentes e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x).

Passo 4

Agora, multiplicidade maior que 1 (explicação didática): se uma raiz complexa \alpha\pm i\beta tem multiplicidade m, então, para cada k=0,1,\dots,m-1, as funções
x^{k}e^{(\alpha+i\beta)x}\quad\text{e}\quad x^{k}e^{(\alpha-i\beta)x}
são soluções complexas. Tomando partes reais e imaginárias dessas, obtemos 2m soluções reais independentes da forma
x^{k}e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad x^{k}e^{\alpha x}\sin(\beta x),
para k=0,\dots,m-1. Em palavras: a multiplicidade m introduz fatores polinomiais em x até grau m-1.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: as raízes são -8\pm 2i, cada uma com multiplicidade 2 (porque -8+2i aparece duas vezes e -8-2i aparece duas vezes). Então \alpha=-8, \beta=2 e m=2. Pelas regras do passo anterior, para k=0 e k=1 obtemos as quatro soluções reais independentes:
e^{-8x}\cos(2x),\qquad e^{-8x}\sin(2x),\qquad x e^{-8x}\cos(2x),\qquad x e^{-8x}\sin(2x).

Passo 6

Construindo a solução geral como combinação linear dessas quatro soluções (explicando a forma prática): juntamos constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} e podemos reorganizar a soma para escrever a solução de forma compacta. O resultado é
y(x)=e^{-8x}\Big((C_{1}+C_{2}x)\cos(2x)+(C_{3}+C_{4}x)\sin(2x)\Big),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes reais arbitrárias determinadas por condições iniciais.

Resposta

Ordem: 4
y(x)=e^{-8x}\big((C_{1}+C_{2}x)\cos(2x)+(C_{3}+C_{4}x)\sin(2x)\big)

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