Toda EDO homogênea de coeficientes constantes de ordem 2 ou maior possui um polinômio característico. E de acordo com as raízes desse polinômio característico podemos deduzir como será a solução da EDO. Sendo assim, diga qual é a ordem da EDO e sua solução, de acordo com as raízes do seu polinômio característico: \lambda_{1}=-9+i, \lambda_{2}=-3, \lambda_{3}=-9-i
Passo 1
O enunciado fornece as raízes do polinômio característico de uma EDO homogênea de coeficientes constantes: \lambda_{1}=-9+i, \lambda_{2}=-3 e \lambda_{3}=-9-i.
As perguntas implícitas são: (1) qual é a ordem da EDO? e (2) qual é a solução geral da EDO associada a essas raízes?
Passo 2
Interpretação das informações dadas (sem resolver ainda): cada raiz \lambda do polinômio característico corresponde a um fator (\lambda - \lambda_j) do polinômio característico. O número de raízes (contando multiplicidades) é igual ao grau do polinômio característico e, portanto, igual à ordem da EDO. Aqui temos três raízes distintas, portanto a ordem da EDO será \,3.
Passo 3
Formando o polinômio característico a partir das raízes dadas: os fatores são (\lambda - (-3))=(\lambda+3) e (\lambda - (-9+i))=(\lambda+9-i) e (\lambda - (-9-i))=(\lambda+9+i). Como -9+i e -9-i são conjugados, o produto desses dois fatores gera um quadrático com coeficientes reais. Calculemos:
Isso confirma que o polinômio é de grau 3, consistente com ordem 3.
Passo 4
Regra prática (aula curtinha e direta sobre como obter soluções a partir das raízes):
Se \lambda=a é raiz real simples, uma solução independente é e^{ax}.
Se \lambda=a\pm bi (b\neq0) é um par de raízes complexas conjugadas, as duas soluções reais independentes correspondentes são e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx).
Se alguma raiz tiver multiplicidade m>1, multiplica-se por potências de x: x^k e^{ax} (com k=0,\dots,m-1). (Aqui não é o caso porque as raízes são distintas.)
Vou explicar por que a regra das conjuntas complexas funciona, de forma simples: se e^{(a+bi)x} é solução complexa, então suas partes real e imaginária também resolvem a EDO real (linear com coeficientes reais). Escrevendo e^{(a+bi)x}=e^{ax}(\cos bx + i\sin bx) vemos direto as duas soluções reais.
Passo 5
Aplicando as regras às nossas raízes:
Para a raiz \,-3 temos a solução real \,e^{-3x}.
Para o par conjugado \,-9\pm i temos as duas soluções reais \,e^{-9x}\cos x e \,e^{-9x}\sin x (aqui a=-9 e b=1).
Como as três soluções são linearmente independentes, a solução geral da EDO (ordem 3) é a combinação linear delas.
Passo 6
Escrevendo a solução geral com constantes arbitrárias reais (essas constantes aparecem porque a EDO é homogênea de ordem 3 e a solução geral tem três constantes):
y(x)=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-9x}\cos x + C_{3}e^{-9x}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais determinadas pelas condições iniciais (se houver). Uma forma alternativa, usando soluções complexas, seria
y(x)=A e^{(-9+i)x}+B e^{(-9-i)x}+D e^{-3x},
com B=\overline{A} para garantir solução real; mas a forma em termos de \cos e \sin é a forma real padrão e prática.
Resposta
Ordem: 3.\n
Solução geral: y(x)=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-9x}\cos x + C_{3}e^{-9x}\sin x.