Descubra qual é a EDO que possui as soluções:
y=c_{1} x e^{-x}+c_{2} e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a família de soluções
y = c_{1}\,x e^{-x} + c_{2}\,e^{-x}
e pede: descobrir uma EDO cuja solução geral seja exatamente essa.
Informações relevantes fornecidas: c_{1} e c_{2} são constantes arbitrárias; as funções que aparecem são x e^{-x} e e^{-x}.

Passo 2

Como temos duas constantes arbitrárias ( c_{1} e c_{2}), a EDO procurada tem ordem 2. Em termos práticos: uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem solução geral com duas constantes livres. Então buscamos uma EDO linear homogênea de ordem 2 que tenha como soluções fundamentais
y_{1}(x)=e^{-x}\quad\text{e}\quad y_{2}(x)=x e^{-x}.

Passo 3

Explicação teórica curta e útil (passo-a-passo): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo e^{r x}. A relação entre as soluções e a equação característica é:
  • se as raízes da equação característica são r_{1} e r_{2} distintas, as soluções fundamentais são e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x};
  • se há uma raiz dupla r_{0} (multiplicidade 2), as soluções fundamentais são e^{r_{0}x} e x e^{r_{0}x}.
Aqui vemos e^{-x} e x e^{-x}, que é exatamente o caso de uma raiz dupla r_{0}=-1 da equação característica.

Passo 4

Portanto a equação característica desejada é (r+1)^{2}=0. Expandindo:
(r+1)^{2}=r^{2}+2r+1=0.
Assim os coeficientes da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes são os mesmos do polinômio r^{2}+2r+1. A forma operadora é (D+1)^{2}y=0, onde D=\dfrac{d}{dx}.

Passo 5

Expandindo o operador (D+1)^{2} obtemos a EDO explícita:
(D+1)^{2}y = y'' + 2y' + y = 0.
Essa é a EDO candidata. Aqui y' denota \dfrac{dy}{dx} e y'' denota \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}.

Passo 6

Verificação direta (para você conseguir reproduzir na prova): tomamos
y = c_{1}\,x e^{-x} + c_{2}\,e^{-x}.
Calculamos as derivadas passo a passo.
Derivada primeira:
y' = c_{1}\,\frac{d}{dx}\big(x e^{-x}\big) + c_{2}\,\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big) = c_{1}\big(e^{-x}-x e^{-x}\big) + c_{2}\big(-e^{-x}\big).
Agrupando fatores e^{-x}:
y' = e^{-x}\big(c_{1}(1-x)-c_{2}\big).
Derivada segunda:
primeiro derivamos c_{1}(e^{-x}-x e^{-x}) dando
\frac{d}{dx}\big(e^{-x}(1-x)\big) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = -e^{-x}(2-x).
e derivando -c_{2}e^{-x} obtemos c_{2}e^{-x}. Logo
y'' = e^{-x}\big(-c_{1}(2-x) + c_{2}\big).
Agora substituímos em y''+2y'+y. Fatorando e^{-x} obtemos
y''+2y'+y = e^{-x}\Big[(-c_{1}(2-x)+c_{2}) + 2(c_{1}(1-x)-c_{2}) + (c_{1}x+c_{2})\Big].
Somando termo a termo dentro dos colchetes:
  • coeficiente de c_{1}x: (+1)+(-2)+(+1)=0;
  • termo constante em c_{1}: (-2)+2=0;
  • coeficiente de c_{2}: (+1)+(-2)+(+1)=0.
    Portanto o conteúdo dos colchetes é 0, logo y''+2y'+y=0. Assim a família dada satisfaz a EDO.

Passo 7

Comentário final curto e incentivo: chegamos a uma EDO simples e muito comum: raízes repetidas da equação característica dão soluções com o fator x multiplicando e^{r x}. Se na prova você vir e^{r x} e x e^{r x} já pode imediatamente pensar em (r - r_{0})^{2} na equação característica. Vai dar tudo certo — respira e confia no raciocínio!

Resposta

y''+2y'+y=0

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