Descubra qual é a EDO que possui as soluções:
Passo 1
O enunciado dá a família de soluções
e pede: descobrir uma EDO cuja solução geral seja exatamente essa.
Informações relevantes fornecidas: e
são constantes arbitrárias; as funções que aparecem são
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Como temos duas constantes arbitrárias (
e
), a EDO procurada tem ordem
. Em termos práticos: uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem solução geral com duas constantes livres. Então buscamos uma EDO linear homogênea de ordem
que tenha como soluções fundamentais
Passo 3
Explicação teórica curta e útil (passo-a-passo): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
. A relação entre as soluções e a equação característica é:
- se as raízes da equação característica são
e distintas, as soluções fundamentais são e ; - se há uma raiz dupla
(multiplicidade ), as soluções fundamentais são e .
Aqui vemos
e
, que é exatamente o caso de uma raiz dupla
da equação característica.
Passo 4
Portanto a equação característica desejada é
. Expandindo:
Assim os coeficientes da EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes são os mesmos do polinômio
. A forma operadora é
, onde
.
Passo 5
Expandindo o operador
obtemos a EDO explícita:
Essa é a EDO candidata. Aqui
denota
e
denota
.
Passo 6
Verificação direta (para você conseguir reproduzir na prova): tomamos
Calculamos as derivadas passo a passo.
Derivada primeira:
Agrupando fatores
:
Derivada segunda:
primeiro derivamos dando
primeiro derivamos
e derivando
obtemos
. Logo
Agora substituímos em
. Fatorando
obtemos
Somando termo a termo dentro dos colchetes:
- coeficiente de
: ; - termo constante em
: ; - coeficiente de
: .
Portanto o conteúdo dos colchetes é, logo . Assim a família dada satisfaz a EDO.
Passo 7
Comentário final curto e incentivo: chegamos a uma EDO simples e muito comum: raízes repetidas da equação característica dão soluções com o fator
multiplicando
. Se na prova você vir
e
já pode imediatamente pensar em
na equação característica. Vai dar tudo certo — respira e confia no raciocínio!