Toda grandeza parcial molar depende da composição? Explique e exemplifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda grandeza parcial molar depende da composição” e pede uma explicação com exemplos.
Informações dadas (implícitas no enunciado): não há dados numéricos; devemos trabalhar com definições e exemplos típicos de propriedades molares parciais.

Passo 2

Definição precisa (essencial para entender tudo): a grandeza parcial molar de uma propriedade extensiva M para o componente i é definida por
\bar{M}_i \;=\; \left(\frac{\partial M}{\partial n_i}\right)_{T,P,n_{j\neq i}}.
Expliquei cada pedaço: M é uma propriedade extensiva da mistura (por exemplo volume total, energia interna total, energia livre total), n_i é a quantidade de matéria do componente i, e a derivada é feita mantendo temperatura T, pressão P e as quantidades dos outros componentes constantes. Assim, \bar{M}_i é o acréscimo em M ao adicionar uma mol de i numa mistura já existente.

Passo 3

Interpretação física e por que a composição entra: como \bar{M}_i mede o efeito diferencial de acrescentar i à mistura, esse efeito normalmente depende de com o que i está misturado — isto é, depende da composição. Em linguagem simples: as propriedades por mol podem mudar se eu trocar parte da mistura por outro componente, porque as interações entre moléculas mudam com a composição.

Passo 4

Expressão geral de dependência: em geral
\bar{M}_i=\bar{M}_i(T,P,x_1,x_2,\dots,x_{c-1}),
onde x_j são frações molares. Ou seja, além de T e P, \bar{M}_i é função das frações molares (ou proporções) da mistura. Isso é o que normalmente se encontra na prática: medir \bar{M}_i para várias composições e ver que varia.

Passo 5

Exemplo clássico em que depende: potencial químico (ou grandeza parcial molar de G). Para uma solução ideal cada componente tem
\mu_i \;=\; \mu_i^\circ + RT\ln x_i,
onde \mu_i é a grandeza parcial molar de G (potencial químico), \mu_i^\circ é o potencial padrão do componente puro, R a constante universal dos gases e x_i a fração molar. Aqui fica claro: \mu_i depende de x_i. A origem física é o termo de entropia de mistura RT\ln x_i — quando mudo a composição, a entropia de mistura muda e com ela a \mu_i.

Passo 6

Um cálculo rápido para fixar a ideia: se em uma mistura ideal binária x_i=0{,}5, então o termo de contribuição da mistura é
RT\ln(0{,}5)=RT\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -RT\ln 2.
A título de ordem de grandeza, a 298\\ \text{K} temos RT\approx 8{,}314\cdot 298\\ \text{J/mol}\approx 2{,}48\\ \text{kJ/mol}, então RT\ln(0{,}5)\approx -1{,}72\\ \text{kJ/mol}. Ou seja, a parte da grandeza parcial ligada à composição é mensurável e significativa.

Passo 7

Exemplo em que NÃO depende (caso especial): mistura de gases ideais. Para gases ideais, o volume total é
V \;=\; (n_1+\dots+n_c)\frac{RT}{P} = n\frac{RT}{P}.
Tomando a derivada parcial,
\bar{V}_i \;=\; \left(\frac{\partial V}{\partial n_i}\right)_{T,P,n_{j\neq i}} \;=\; \frac{RT}{P},
que é independente da composição. Ou seja, para mistura de gases ideais a grandeza parcial molar do volume é a mesma para qualquer composição e igual ao volume molar ideal \tfrac{RT}{P}.

Passo 8

Outros exemplos de independência em casos ideais: em uma mistura ideal de gases a energia interna molar e a entalpia molar de cada componente dependem só da temperatura, então suas grandezas parciais (por mol) são as próprias funções de T do componente e não dependem da composição. Em contraste, se houver interações (gases reais, soluções reais), essas grandezas parciais passarão a depender da composição.

Passo 9

Como identificar na prova se depende ou não: procure saber se o modelo assume comportamento ideal (sem interação entre tipos diferentes) e se a propriedade em questão depende só de T (por ex. u(T) para gás ideal). Se sim, a parcial molar pode ser independente da composição. Caso contrário, espere dependência de x_i.

Passo 10

Fórmula prática útil (mistura binária) para calcular parciais a partir da propriedade molar total \bar{M}(x) (propriedade por mol da mistura): para uma mistura binária com fração x_1,
\bar{M}_1 \;=\; \bar{M} + (1-x_1)\frac{d\bar{M}}{dx_1}, \qquad \bar{M}_2 \;=\; \bar{M} - x_1\frac{d\bar{M}}{dx_1}.
Isto mostra concretamente que, se \bar{M} depende de x_1, então as parciais também dependem; se \bar{M} é linear ou constante em x_1, as parciais podem ser constantes.

Passo 11

Resumo didático e incentivo: regra prática — não assumir que uma grandeza parcial molar é constante. Na maioria dos casos reais ela varia com a composição porque as interações mudam. Só em modelos ideais e para certas propriedades (volume de gás ideal, energia interna de gás ideal, etc.) ela é independente. Se estiver na prova e der um modelo ideal, aplique as fórmulas simples; se não, mostre a dependência pela definição e, se possível, calcule derivadas como no passo anterior. Você está indo bem — reconhecer se o sistema é ideal ou não resolve grande parte da confusão!

Resposta

Não, nem sempre: em geral as grandezas parciais molares dependem da composição (por exemplo \mu_i=\mu_i^\circ+RT\ln x_i em solução ideal), mas há casos especiais em que são independentes da composição (por exemplo \bar{V}_i=RT/P para mistura de gases ideais).

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