1. Toda matéria viva tem dois tipos de carbono em suas moléculas 14C e 12C. Enquanto o organismo está vivo a razão entre 14C e 12C é constante. Quando o organismo morre nao há mais reposição de 14 C e então ocorre decaimento exponencial de 14 C com meia-vida de 5760 anos. Examinando a razão 14 \mathrm{C} / 12 \mathrm{C} é possível determinar a porcentagem da quantidade original de 14 C remanescente e então datar um fóssil.
    (a) Que porcentagem da quantidade original de 14 C existirá após 2000 anos?
    (b) Se um fóssil contêm 10 \% da quantidade original de 14 C , qual sua idade?
Conhecemos o modelo A(t)=A_{0} e^{k t}. Para um tempo de meia-vida de 5760 anos acharemos a constante k :
\begin{gathered} A(t)=A_{0} e^{k t} \\\ \frac{A_{0}}{2}=A_{0} e^{k 5760} \\\\ 0.5=e^{8 k} \\\ k=\frac{\ln 0.5}{5760} \end{gathered}
(a) \frac{A(2000)}{A_{0}}=e^{\frac{l n 0.5}{5760} 2000}=0.7861 Ou seja, 78.61% após 2000 anos.
(b) \frac{A(t)}{A_{0}}=0.1=e^{\frac{\ln 0.5}{5760} t}
t=\frac{5760 \ln 0.1}{\ln 0.5}=19134.3 anos.

Passo 1

O enunciado trata do decaimento exponencial do carbono-14 após a morte de um organismo. O modelo é
A(t)=A_{0}e^{k t},
onde A_{0} é a quantidade inicial de \mathrm{^{14}C}, k é a constante de decaimento e t o tempo em anos. Sabemos que a meia-vida é 5760 anos, e usaremos essa informação para determinar k, depois responderemos às partes (a) e (b).

Passo 2

Encontrar k a partir da meia-vida de 5760 anos. Em t=5760 temos A(5760)=A_{0}/2, portanto
\frac{A_{0}}{2}=A_{0}e^{k\cdot 5760}
ou seja
e^{k\cdot 5760}=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\ln(0{,}5)}{5760}\,.

Passo 3

(a) Calcular a fração remanescente após 2000 anos. Substituindo t=2000 no modelo e usando o valor de k:
\frac{A(2000)}{A_{0}} =e^{k\cdot 2000} =e^{2000\frac{\ln(0{,}5)}{5760}} =(0{,}5)^{2000/5760} \approx 0{,}7861.
Como porcentagem, isso dá cerca de 78{,}61\%.

Passo 4

(b) Determinar t quando sobra 10\% da quantidade original, isto é \tfrac{A(t)}{A_{0}}=0{,}1. Então
0{,}1=e^{k t} \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln(0{,}1)}{k} =\frac{\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)/5760} =\frac{5760\,\ln(0{,}1)}{\ln(0{,}5)} \approx 19134\text{ anos}.

Resposta

(a) 78{,}61\%
(b) 19134 anos (aproximadamente)

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