1. O corpo concentra iodo na tiróide. Esta observação leva ao tratamento de cancer de tiróide pela injeção de iodo radioativo na corrente sanguínea. Um isótopo usado tem meia-vida de aproximadamente 8 dias e decai exponencialmente no tempo.
    (a) Se 50 mg deste isótopo sao injetados, que quantidade permanecerá após 3 semanas?
    (b) Suponhamos que a quantidade desejada de iodo na corrente sanguínea seja mantida sempre maior ou igual a 20 mg . Quando nova injeção deverá ser aplicada, considerando que isto só poderá ocorrer após a quantidade original ter caído para 20 mg ?
Sabemos o tempo de meia-vida t_{\frac{1}{2}}=8 dias e o modelo exponencial para o decaimento radioativo Q(t)=Q_{0} e^{k t}. Assim, encontraremos a constante k :
\begin{gathered} Q(t)=Q_{0} e^{k t} \\\ \frac{Q_{0}}{2}=Q_{0} e^{k 8} \\\\ 0.5=e^{8 k} \\\ k=\frac{\ln 0.5}{8} \end{gathered}
(a) Q(21)=50 e^{\frac{l n 0.5}{8} 21}=8.1 \mathrm{mg}
(b) Tempo para que uma quantidade Q_{0} atinja 20 mg .
Q_{0} e^{\frac{\ln 0.5}{8} t}=20 \Rightarrow t=\frac{8}{\ln 0.5} \ln \left(\frac{20}{Q_{0}}\right)
O tempo t para uma nova aplicação dependerá da quantidade inicial Q_{0}. Se considerarmos Q_{0}=50 \mathrm{mg}, tem-se t=10.57, ou seja, praticamente 10 dias para uma nova aplicação.

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo de um isótopo injetado na corrente sanguínea, cuja meia-vida é de 8 dias. O modelo de decaimento é exponencial, dado por
Q(t)=Q_{0}e^{k\,t},
onde Q_{0} é a quantidade inicial (em mg), t o tempo (em dias) e k a constante de decaimento. Precisamos (a) calcular quanto resta após 3 semanas ( 21 dias) se Q_{0}=50 mg; e (b) determinar em que tempo a quantidade cai para 20 mg, para então aplicar nova injeção.

Passo 2

Para achar k usamos a definição de meia-vida: em t_{\frac12}=8 dias sobra metade, isto é,
Q(8)=Q_{0}e^{k\cdot8}=\frac{Q_{0}}{2}.
Cancelando Q_{0} e isolando k
e^{8k}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad 8k=\ln\bigl(\tfrac12\bigr) \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\ln(0.5)}{8}.

Passo 3

Para (a) usamos t=21 dias e Q_{0}=50 mg:
Q(21)=50\,e^{\,\frac{\ln(0.5)}{8}\,21} =50\cdot\bigl(e^{\ln(0.5)}\bigr)^{21/8} =50\cdot(0.5)^{21/8}.
Numericamente,
Q(21)\approx50\cdot2^{-2{,}625}\approx8{,}1\text{ mg}.

Passo 4

Para (b) queremos Q(t)=20 mg com Q_{0}=50 mg:
50\,e^{\,\frac{\ln(0.5)}{8}t}=20 \quad\Longrightarrow\quad e^{\,\frac{\ln(0.5)}{8}t}=\tfrac{20}{50}=0{,}4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\ln(0.5)}{8}t=\ln(0.4)
t=\frac{8\,\ln(0.4)}{\ln(0.5)}\approx10{,}6\text{ dias}.

Resposta

(a) Aproximadamente 8{,}1 mg.
(b) Cerca de 10{,}6 dias após a injeção inicial.

Exercícios relacionados