Todas as letras que aparecem nos sistemas lineares a seguir representam incógnitas. Calcule o determinante da matriz dos coeficientes de cada um deles, classificando-o em: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI).
\left\{\begin{array}{l}2 x-y=1 \\\\ 4 x-2 y=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com duas incógnitas [x) e y e pede para calcular o determinante da matriz dos coeficientes e, a partir dele, classificar o sistema como possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI).
As informações fornecidas (extraídas do enunciado) são:
\begin{cases} 2x - y = 1,\\[4pt] 4x - 2y = 3. \end{cases}
A matriz dos coeficientes é a matriz (2\times2] formada pelos coeficientes das incógnitas nas equações.]

Passo 2

Escrever explicitamente a matriz dos coeficientes. Usando a ordem (x,y), a matriz A é
A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]4 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explicar o que é o determinante de uma matriz 2\times2 e como calculá‑lo. Para uma matriz genérica
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado pela fórmula
\det\!\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz; a fórmula significa que multiplica‑se o elemento da primeira linha e primeira coluna por aquele da segunda linha e segunda coluna ( ad), subtrai‑se o produto do elemento da primeira linha e segunda coluna pelo da segunda linha e primeira coluna ( bc). Essa fórmula é fácil de aplicar na prova sem calculadora.]

Passo 4

Aplicar a fórmula do determinante à matriz A. Identificando a=2, b=-1, c=4, d=-2, temos:
\det(A)=a d - b c = 2\cdot(-2)-(-1)\cdot 4.
Calculemos passo a passo os produtos:
2\cdot(-2)=-4, \qquad (-1)\cdot 4=-4.
Agora subtrai:
\det(A) = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0.

Passo 5

Explicar como classificar o sistema a partir do determinante. Regras práticas para um sistema 2\times2:
  • Se \det(A)\neq 0, a matriz é invertível e o sistema tem exatamente uma solução (SPD).
  • Se \det(A)=0, as equações são linearmente dependentes em termos de coeficientes; então há duas possibilidades:
    • Se as linhas (ou colunas) dos coeficientes forem proporcionais e os termos independentes (lado direito) também forem proporcionais pelo mesmo fator, o sistema tem infinitas soluções (SPI).
    • Se as linhas dos coeficientes forem proporcionais, mas os termos independentes não forem proporcionais pelo mesmo fator, o sistema é inconsistente: não há solução (SI).

Passo 6

Aplicar o teste de proporcionalidade aos coeficientes e termos independentes. Observe que a segunda linha de coeficientes (4,-2) é exatamente 2 vezes a primeira linha (2,-1), porque
(4,-2)=2\cdot(2,-1).
Agora verifiquemos os termos independentes (os lados direitos): o primeiro termo é 1, se as equações fossem proporcionais pelo fator 2 o segundo termo deveria ser 2\cdot 1=2, porém o segundo termo dado é 3. Como 3\neq 2, os coeficientes são proporcionais mas os termos independentes não são proporcionais pelo mesmo fator.
Portanto o sistema é inconsistente: não existe solução.

Resposta

\det(A)=0
Sistema impossível (SI)

Exercícios relacionados