Todas as letras que aparecem nos sistemas lineares a seguir representam incógnitas. Calcule o determinante da matriz dos coeficientes de cada um deles, classificando-o em: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI). \left\{\begin{aligned} x+2 y & =1 \\\ y+2 z & =2 \\\\ 2 x+z & =4\end{aligned}\right.
e pede: calcular o determinante da matriz dos coeficientes e classificar o sistema em SPD / SPI / SI. As informações relevantes (peguei diretamente do enunciado) são os coeficientes das incógnitas x,y,z. A matriz dos coeficientes é
Vou escolher um método para calcular o determinante de A. Como A é uma matriz 3\times3, um método simples e direto é a regra de Sarrus. Vou explicar a regra de Sarrus para você: se
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
então o determinante de M é dado por
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
Aqui cada letra representa o elemento correspondente da matriz (por exemplo a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, e é da segunda linha e segunda coluna, etc.). A fórmula soma três produtos “diagonais descendentes” e subtrai três produtos “diagonais ascendentes”.]
Somando os termos positivos e subtraindo os negativos:
\det(A)= (1+8+0) - (0+0+0) = 9.
Passo 5
Agora a interpretação. Uma regra importante para sistemas lineares com matriz de coeficientes quadrada é:
Se \det(A)\neq 0, então a matriz A é invertível e o sistema homogêneo associado só tem a solução trivial; por consequência o sistema linear original tem exatamente uma solução — o sistema é possível e determinado (SPD).
Se \det(A)=0, então a matriz não é invertível e o sistema pode ser impossível (SI) ou possível e indeterminado (SPI); para decidir nesses casos é preciso comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz ampliada.
No nosso caso encontramos \det(A)=9\neq 0, portanto a matriz é invertível e o sistema tem única solução.
Passo 6
Conclusão final: o determinante da matriz dos coeficientes é 9 e, por ser não nulo, o sistema é possível e determinado (SPD).