Todas as letras que aparecem nos sistemas lineares a seguir representam incógnitas. Calcule o determinante da matriz dos coeficientes de cada um deles, classificando-o em: sistema possível e determinado (SPD), sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI).
\left\{\begin{aligned} x+2 y & =1 \\\ y+2 z & =2 \\\\ 2 x+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+2y=1,\\[4pt] y+2z=2,\\[4pt] 2x+z=4, \end{cases}
e pede: calcular o determinante da matriz dos coeficientes e classificar o sistema em SPD / SPI / SI. As informações relevantes (peguei diretamente do enunciado) são os coeficientes das incógnitas x,y,z. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Vou escolher um método para calcular o determinante de A. Como A é uma matriz 3\times3, um método simples e direto é a regra de Sarrus. Vou explicar a regra de Sarrus para você: se
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
então o determinante de M é dado por
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
Aqui cada letra representa o elemento correspondente da matriz (por exemplo a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, e é da segunda linha e segunda coluna, etc.). A fórmula soma três produtos “diagonais descendentes” e subtrai três produtos “diagonais ascendentes”.]

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 0 & 1 \end{pmatrix},
associamos
a=1,\\ b=2,\\ c=0,\\ d=0,\\ e=1,\\ f=2,\\ g=2,\\ h=0,\\ i=1.
Agora calculamos cada termo da fórmula:
Termos positivos:
a e i = 1\cdot 1\cdot 1 = 1,
b f g = 2\cdot 2\cdot 2 = 8,
c d h = 0\cdot 0\cdot 0 = 0.
Termos negativos:
c e g = 0\cdot 1\cdot 2 = 0,
b d i = 2\cdot 0\cdot 1 = 0,
a f h = 1\cdot 2\cdot 0 = 0.]

Passo 4

Somando os termos positivos e subtraindo os negativos:
\det(A)= (1+8+0) - (0+0+0) = 9.

Passo 5

Agora a interpretação. Uma regra importante para sistemas lineares com matriz de coeficientes quadrada é:
  • Se \det(A)\neq 0, então a matriz A é invertível e o sistema homogêneo associado só tem a solução trivial; por consequência o sistema linear original tem exatamente uma solução — o sistema é possível e determinado (SPD).
  • Se \det(A)=0, então a matriz não é invertível e o sistema pode ser impossível (SI) ou possível e indeterminado (SPI); para decidir nesses casos é preciso comparar o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz ampliada.
No nosso caso encontramos \det(A)=9\neq 0, portanto a matriz é invertível e o sistema tem única solução.

Passo 6

Conclusão final: o determinante da matriz dos coeficientes é 9 e, por ser não nulo, o sistema é possível e determinado (SPD).

Resposta

\det(A)=9
Sistema possível e determinado (SPD)

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